Практические занятия матем / Практическое занятие 14

Практическое занятие 14.

Производная функции одной переменной

Задания:

Пользуясь определением производной, найти :

14.1. . 14.2. .

14.3. . 14.4. .

14.5. .

Найти производные следующих функций:

14.6. . 14.7. .

14.8. . 14.9. .

14.10. . 14.11. .

14.12. . 14.13. .

14.14. . 14.15. .

14.16. . 14.17. .

14.18. . 14.19. .

14.20. . 14.21. .

14.22. . 14.23. .

14.24. . 14.25. .

14.26. . 14.27. .

14.28. . 14.29. .

14.30. . 14.31. .

14.32. . 14.33. .

14.34. . 14.35. .

14.36. . 14.37. .

14.38. . 14.39. .

14.40. . 14.41. .

14.42. . 14.43. .

14.44. . 14.45. .

14.46. . 14.47. .

14.48. . 14.49. .

14.50. . 14.51. .

14.52. . 14.53. .

14.54. . 14.55. .

14.56. . 14.57. .

14.58. . 14.59. .

14.60. . 14.61. .

Используя предварительное логарифмирование, найти производные следующих функций:

14.62. . 14.63. .

14.64. . 14.65. .

14.66. . 14.67. .

14.68. . 14.69. .

14.70. . 14.71. .

14.72. . 14.73. .

Найти производные следующих функций:

14.74. .

14.75. .

14.76. .

14.77. .

14.78. .

14.79. .

14.80. .

14.81. .

14.82. .

14.83. .

14.84. .

14.85. .

14.86. .

14.87. .

14.88. .

14.89. .

14.90. .

14.91. .

14.92. .

14.93. .

14.94. .

14.95. .

14.96. .

14.97. .

14.98. .

14.99. .

14.100. .

14.101. .

14.102. .

14.103. .

14.104. .

14.105. .

14.106. .

14.107. .

14.108. .

14.109. .

14.110. .

14.111. .

14.112. .

14.113. .

14.114. .

14.115. .

14.116. .

14.117. .

14.118. .

14.119. .

14.120. .

14.121. .

14.122. .

14.123. .

14.124. .

14.125. .

14.126. .

14.127. .

14.128. .

14.129. .

14.130. .

14.131. .

14.132. .

14.133. .

14.134. .

14.135. .

14.136. .

14.137. .

14.138. .

Дополнительные сведения.

Производная, ее геометрический и физический смысл.

Правила и формулы дифференцирования

Напомним, что приращением функции называется разность

.

где – приращение аргумента . Из рис.1. видно, что

. (1)

Рис.1.

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении к нулю называется производной функции в точке и обозначается одним из следующих символов: , , . Таким образом, по определению

. (2)

Если указанный в формуле (2) предел существует, то функцию называют дифференцируемой в точке , а операцию нахождения производной – дифференцированием.

Из равенства (1) и определения производной следует, что производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной в точке , к графику функции .

Легко показать, что с физической точки зрения производная определяет скорость изменения функции в точке относительно аргумента .

Числа

и

называются соответственно левой и правой производными функции в точке . Для существования производной функции в точке необходимо и достаточно, чтобы ее левая и правая производные в этой точке существовали и совпадали, т.е.

.

Пример 1. Найти и для функции .

Решение: Имеем по определению

и

.

Видим, что функция не имеет производной в этой точке .

Формулы дифференцирования основных функций

1		12
2		13
3		14
4		15
5		16
6		17
7		18
8		19
9
10
11

Основные правила дифференцирования

Пусть – постоянная, – функции, имеющие производные.

Тогда:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) если , т.е. , где функции и имеют производные, то

(правило дифференцирования сложной функции).

Пример 2. Исходя из определения производной, найти производную функции .

Находим

.

Используя формулу , получим

,

откуда

.

Используя первый замечательный предел, имеем .

Пример 3. Найти производную функции , воспользовавшись определением производной (см. формулу (2)).

При любом приращении имеем:

.

Так как

.

то

.

Пример 4. Найти производные функций

1) .

.

2) .

Пример 5. . Найти .

Перепишем заданную функцию в виде . Тогда

.

Пример 6. . Найти .

.

Пример 7. . Найти .

=

.

Пример 8. . Найти .

Обозначим , тогда . По правилу дифференцирования сложной функции имеем

.

Пример 9. . Найти .

Здесь основание и показатель степени зависят от . Логарифмируя, получим . Продифференцируем обе части последнего равенства по . Так как является функцией от , то есть сложная функция и . Следовательно,

,

т.е.

.

Пример 10. . Найти .

Имеем , откуда

;

.

Пример 11. .

Здесь заданную функцию также следует предварительно прологарифмировать:

;

;

.

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е.

.

Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием. В некоторых случаях предварительное логарифмирование функции упрощает нахождение ее производной. Например, при нахождении производной функции , где и , предварительное логарифмирование приводит к формуле

.

Пример 12. Найти производную функции .

Логарифмируя данную функцию, получаем

.

Дифференцируем обе части последнего равенства по :

.

Отсюда

.

Далее,

.

Окончательно имеем: