Составители: В.Р. Строкина, С.А.Шатохин

УДК 537.6

ББК 22.33

Электричество и магнетизм: Методические указания к практическим занятиям по курсу общей физики. / Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т; Сост.: В.Р. Строкина, С.А. Шатохин -Уфа, 2003, 40 - c.

Приведены примеры решения различных типов задач по темам практических занятий раздела «Электричество и магнетизм». Предназначены для студентов 1 и 2 курсов.

Библиогр.: 5 назв.

Рецензенты: А.С. Краузе

Л.С. Медведева

© Уфимский государственный авиационный

технический университет, 2003

Введение

Практические занятия являются одной из важнейших компонент учебного процесса по физике. Они способствуют приобщению студентов к самостоятельной работе, учат анализировать изучаемые физические явления, использовать на практике полученные теоретические знания.

Предназначены для студентов, изучающих раздел курса общей физики «Электричество и магнетизм». В пособии представлены примеры решения типичных задач разной степени трудности. Решения сопровождаются необходимыми указаниями и комментариями. Задачи систематизированы по основным темам раздела. По каждой теме приведены основные формулы, облегчающие усвоение алгоритмов решения задач.

Электричество и магнетизм

1. Электростатическое поле в вакууме Основные формулы:

Закон Кулона: ,

где

q₁ r q₂ q₁ r q₂

Напряженность электрического поля:

Напряженность поля точечного заряда:

Напряженность поля заряженного шара:

где R — радиус шара.

Принцип суперпозиции электрических полей:

Поток вектора напряженности через поверхность S:

Теорема Гаусса: ,

где Ф_Е – поток вектора напряженности через замкнутую поверхность S, q – заряд, заключенный внутри поверхности S.

Линейная плотность заряда:

Поверхностная плотность заряда:

Объемная плотность заряда:

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, нитью:

Электрическое смещение:

Потенциал электрического поля:

Потенциал поля точечного заряда:

Потенциал поля заряженного шара:

Работа по перемещению заряда в электрическом поле: А = q (__

где (__ — разность потенциалов.

Энергия заряженного конденсатора

Энергия системы точечных зарядов:

Электрический момент диполя:

Механический момент, действующий на диполь в электрическом поле: Поляризованность диэлектрика:

Связь поляризованности и напряженности электрического поля:, где χ – диэлектрическая восприимчивость.

Примеры решения задач

Задача 1. В центре квадрата, в каждой вершине которого находится заряд равный 2,4 нКл, помещен отрицательный заряд q_o . Найти этот заряд, если на каждый заряд в вершине действует результирующая сила, равная 0,4 мН. Сторона квадрата 1 см.

Дано: а = 1см =10—2м. q1 = q2 = q3 = q4 = 2,4 нКл = 2,4 . 10—9Кл F=0,4мН=0,4 . 10—3Н	Решение.
qo — ?

Результирующая сила F, действующая на каждый из зарядов, находящихся в

вершинах квадрата, равна

,

Отсюда:

Задача 2. Два заряда q₁ = q и q₂ = 4q находятся на расстоянии r = 10 см друг от друга. Третий заряд q₃ может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определите положение заряда q₃ , при котором он будет находиться в равновесии.

Дано: q1 = q ; q2 = -4q ; r = 10см	Решение. Заряд будет находиться в равновесии, если Из рисунка видно, что это условие может быть выполнено лишь на рис. (а).
х — ?

Расстояние от меньшего по модулю заряда q₁ до q₃ на рис. (а) обозначим через х. Тогда расстояние от заряда q₂ до заряда q₃ будет равно (r+x).

Выражая в условии равновесия силы F₁ и F₂ в соответствии с законом Кулона, получим

Физическому условию задачи удовлетворяет корень х₁ = r .

Ответ: х = r .

Задача 3. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами q₁=30 нКл и q₂=-10 нКл Расстояние d между зарядами равно 20 см. Определите напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r₁=15 см от первого и на расстоянии r₂=10 см от второго заряда.

Дано: q1 = 30 нКл = 3 . 10-8 Кл ; q2 = -10 нКл = -10 . 10-8 Кл ; d = 20 см = 0,2м ; r1 = 15 см = 0,15 м; r2 = 10 см = 0,1 м;	Решение. α α q1 d q2
Е — ?

Согласно принципа суперпозиции:

Задача 4. Заряд q=1,5^.10^—8 Кл равномерно распределен по кольцу радиуса R=0,2м. Найдите напряженность электрического поля в точке, находящейся на оси кольца на расстоянии h=0,15 м от его центра.

Дано: q=1,510-9 Кл R=0,2 м h=0,15 м	Решение. Заряд q не является точечным, поэтому кольцо разбивается на элементарные части, заряд dq, которые можно считать точечными.
E—?

Согласно принципа суперпозиции: Векторd можно разложить на составляющие dE_ix и dE_iy. Тогда ,— единичные вектора (орты).

Очевидно, что Таким образом.

dE_iy = dE_i·cosα,

Ответ: E=1,3·10³ (В/м).

Задача 5. Заряд точечный q_о = —210^—10 Кл расположен на продолжении оси диполя, электрический момент которого р_е = —1,510^—10 Клм, на расстоянии r=10 см от его центра (ближе к положительному заряду диполя). Какую работу надо совершить, чтобы перенести этот заряд в симметрично расположенную точку по другую сторону диполя.

Дано: qо = -2 . 10-10 Кл ре = -1,5 . 10-10 Кл . м, r = 10 см	Решение. Работа А*, совершаемая внешними силами при перемещении заряда в электрическом поле, равна работе
А*—?	сил поля, взятой с обратным знаком.

где _и _ - потенциалы точек В и С.

Если учесть, что и приr>> выражениями в знаменателе можно пренебречь, то формулы для_и _ принимают вид:

Задача 6. Тонкий стержень длиной =10 см равномерно заряжен зарядомq = -310^-9 Кл. Определите напряженность и потенциал поля в точке С, лежащей на оси стержня. На расстоянии x₀ от середины стержня до этой точки.

Дано: xo= 20 см q = 3 . 10—9 Кл = 10 см	Решение. Заряд не является точечным, поэтому стержень разбивается на элементарные отрезки dx, заряд dq на которых можно считать точечным.
E c — ? c — ?

Потенциал поля, создаваемый в точке С зарядом dq, равен

Потенциал поля, создаваемый в точке С всем стержнем, находится интегрированием

Таким образом,

Напряженность поля вдоль оси OX равна

.

Отсюда

Ответ: φ_c= -138 В; E_c= 720 В/м.

Задача 7. В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью V = 210⁷ м/c, направленной параллельно пластинам конденсатора. На какое расстояние от своего первоначального направления сместится электрон за время пролета конденсатора? Расстояние между пластинами d = 2 см, длина пластин конденсатора =5 см, разность потенциалов между пластинамиU = 200 В.

Дано: Vо = 2 . 10-7 м/с d = 2 см = 2 . 10-2 м = 5 см U = 200 В m = 9,1 . 10-31 кг e = 1,6 . 10-19 Кл	Решение.
S—?

Движение электрона вдоль оси ОХ является равномерным, вдоль оси ОУ  равноускоренным.

где a – ускорение, приобретаемое электроном под действием силы F=eE.

Отсюда

Ответ: S = 5,5 мм.

Задача 8. Плоский воздушный конденсатор с площадью S пластины, равной 500 см², подключен к источнику тока, ЭДС которого равен 300 В. Определить работу А внешних сил по раздвижению пластин от расстояния d₁ = 1 см до d₃ = 3 см в двух случаях: 1) пластины перед раздвижением отключаются от источника тока; 2) пластины в процессе раздвижения остаются подключенными к нему.

Дано: S = 500 см2= =5 . 10—2 м2 U = 300 B d1 = 1 см d3 = 3 см	Решение. Работа внешних сил равна изменению энергии конденсатора: А = W2 — W1 . 1) Заряд на обкладках конденсатора остается постоянным, так как конденсатор отключен от источника
А—?	q = C1 φconst, где φ равна ЭДС источника U.

2) Пластины остаются подключенными к источнику тока, и система не является изолированной. Заряд с пластин при их раздвижении перемещается к клеммам батареи. В этом случае остается неизменной разность потенциалов между пластинами φU, поэтому энергию конденсатора удобно представить в виде: ,

тогда .Таким образом

Ответ: 1) А = 3,98·10^-6 Дж; 2) A = 1,33·10^-6 Дж.

Задача 9. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 2 мм, разность потенциалов U= 1,8 кВ. Диэлектрик  стекло. Определите диэлектрическую восприимчивость χ стекла и поверхностную плотность  связанных зарядов на поверхности стекла.

Дано: d = 2 мм U = 1,8 кВ  = 7,0	Решение.  χ, χ =  = Р , где Р — поляризованность диэлектрика . Р = χ о Е , где Е = U/d — напряженность поля в
—?	диэлектрике.

Отсюда:  = χ _о (U /d ) = 47,7 ^. 10^—6 Кл/м² .

Ответ: χ = 6,  = 47,7 ^. 10^—6 Кл/м² .

Задача 10. Плоская квадратная пластина со стороной a=0,1 м находится на некотором расстоянии от бесконечной, равномерно заряженной плоскости (=1 мкКл/м²). Плоскость пластины составляет угол =30^о с линиями поля. Найти поток Ф вектора электрической напряженности через эту пластину.

Дано: a = 0.1 м =1 мкКл/м2  = 30о	Решение. +  
Ф —?

Заряженная плоскость создает однородное электрическое поле с напряженностью . Таким образом Ф =E·S·cos.

Учитывая, что , окончательно получаем

Ответ: Ф=280 В·м.

Задача 11. В центре сферы, радиусом R=20 см, находится точечный заряд q=10^-2 мкКл. Определить поток вектора напряженности через часть сферической поверхности площадью S=20 см².

Дано: R = 20см = 0.2 м q = 10-2 мкКл S = 20см2 = 20·10-4 м2	Решение.
Ф —?

Поток Ф_R через всю сферическую поверхность можно определить по теореме Остроградского-Гаусса: .

Искомая часть этого потока, проходящая через S, определяется соотношением .

Ответ: Ф=4,5 В·м.