где H k – матрица, рассчитываемая по специальному алгоритму на основе H k 1 . Заметим, что (136) применимо и к методу наискорейшего спуска, если H k
– единичная матрица. Если принять H k Яk 1, где Я k 1 – обратная матрица вторых частных производных F(X ) по X , называемая матрицей Гессе, то мы имеем метод Ньютона, относящийся к методам второго порядка. Методы второго порядка в САПР практически не применяются из-за трудностей расчета матрицы Гессе и плохой сходимости вдали от минимума. Поэтому вместо Я k 1 используется ее приближение, рассчитываемое в методе переменной метрики без использования вторых производных F(X ) по X .
6.8. Методы условной оптимизации
Метод штрафных функций основан на преобразовании исходной задачи (116) с ограничениями к задаче без ограничений с применением к последней методов безусловной оптимизации. Преобразование проводится по формуле(X ) F(X ) (X ), где (X ) и F(X ) – соответственно новая и первоначальная целевые функции, (X ) – функция штрафа, учитывающая нарушенные ограничения. В методе штрафных функций, называемом методом внешней точки, функция штрафа
N |
m |
|
(X ) r1 min 0, i ,(X ) 2 |
r2 ( j (X ))2 , |
(137) |
i 1 |
j 1 |
|
где N и m – количества ограничений соответственно типа неравенств i (X ) 0 и равенств j (X ) 0 в исходной задаче математического программирования (116), r1 и r2 – коэффициенты, подбираемые из компромиссного удовлетворения требований точности и экономичности вычислений.
Метод внутренней точки, или метод барьерных функций, характеризуется функцией штрафа
177
N |
|
m |
|
(X ) r1 1 i X |
r2 ( j (X))2 . |
(138) |
|
i 1 |
|
j 1 |
|
На рис. 49 показаны функции (x) |
и F (x ) для одномерного случая при |
||
наличии ограничения (x) 0 . Точка условного минимума х* функции F (x ) в методе штрафных функций становится точкой безусловного минимума функции
, чем и обеспечивает правильность получаемых результатов.
Метод проекции градиента, относящийся к методам первого порядка, обладает высокой эффективностью среди методов, непосредственно применимых к задачам с ограничениями типа равенств. Его сущность заключается в том, что шаги поиска осуществляются не в направлении антиградиента (134), как в методе наискорейшего спуска, а в направлении проекции антиградиента на гиперповерхность ограничений, задаваемую системой равенств (X ) 0 . К началу каждого шага условие (X ) 0 должно выполняться, что достигается предварительным спуском на гиперповерхность ограничений. Таким образом, метод проекций градиента состоит из чередующихся спусков на гиперповерхность ограничений и шагов вдоль гиперповерхности в направлении, противоположном проекции градиента целевой функции. При поиске максимина в систему уравнений, задающую
гиперповерхность ( X ) , включаются уравнения |
вида s'(X ) s' ' (X ) |
0 , где |
|||
s' (X ) – запас работоспособности |
некоторого выходного |
параметра, |
причем |
||
включение осуществляется |
на |
k -ом шаге |
поиска, |
если окажется |
|
s' (X k ) s' ' (X k 1) , где s' ' (X ) |
– целевая функция. |
|
|
|
|
(x )
F(x )
(x ) |
F(x ) |
(x )
178
X