РИС. 46. ОВРАЖНАЯ ФУНКЦИЯ

Поэтому в САПР применяются другие методы перебора направлений, улучшающие стратегию покоординатного спуска, например, такие как методы конфигураций и Розенброка.

Метод конфигураций включает выполнение циклов из n шагов покоординатного спуска. После каждого цикла делается один дополнительный шаг, определяемый с помощью одномерной оптимизации (130), вдоль направления U k U где k n, 2n, 3n, ... , т.е. по линии, проходящей через конечные точки двух смежных циклов шагов.

x2

x Д

x2

x0x1

x1

РИС. 47. ТРАЕКТОРИЯ ПОИСКА ПО МЕТОДУ КОНФИГУРАЦИЙ

174

На рис. 47 показан поиск по методу конфигураций: точки Х1 и Х2 получены из начальной Х0 с помощью покоординатного спуска, точка Хд – результат дополнительного шага.

Метод Розенброка характеризуется тем, что в нем реализована идея поворота координатных осей после каждого цикла из n шагов покоординатного спуска таким образом, чтобы одна из осей новой системы координат оказалась параллельной линии, соединяющей точки U k и U k n , т.е. заняла положение, близкое к параллельному по отношению к линии дна оврага. Тогда заметно повышается вероятность того, что следующий цикл шагов покоординатного спуска будет успешным.

Методы случайного поиска характеризуются большим числом реализующих их алгоритмов. В качестве примера отметим алгоритм, в котором элементы вектора gk являются равномерно распределенными в диапазоне [-1, +1] случайными величинами и используется способ задаваемого шага. Неудачные шаги, приводящие к ухудшению целевой функции, не выполняются.

6.7.2. Методы первого порядка

Методы первого порядка, называемые градиентными, приводят к цели за меньшее число шагов, чем методы нулевого порядка, однако выполнение каждого шага более трудоемко, так как вычисляется градиент целевой функции

где X k 1 – результат предыдущего шага.

Метод наискорейшего спуска предписывает вести поиск в направлении

коэффициент, учитывающий предысторию поиска. Благодаря такому учету “сглаживается» траектория поиска и быстрее достигается экстремум.

175

Коэффициент k рассчитывается как отношение скалярных произведений векторов:

x2

x4 x0 x2x3

x1

x1

Рис. 48. Траектория поиска по методам наискорейшего спуска (сплошная линия) и сопряженных градиентов (пунктирная линия)

На рис. 48 сплошной линией показана траектория поиска минимума квадратичной целевой функции методом наискорейшего спуска. Поиск по методу сопряженных градиентов (пунктирная линия) дает более быстрое определение экстремума квадратичной функции.

Метод переменной метрики:

176