6.5. Постановка задач оптимизации при внешнем проектировании
Если ТЗ является ориентировочным или еще не сформировано, что характерно для внешнего проектирования, то формулировать задачу оптимизации как достижение наилучшей степени выполнения требований ТЗ не удается. Поэтому рассмотренные постановки задач совмещения, центрирования и расчета на основе вероятностного, максиминного или частного критериев не подходят.
При внешнем проектировании наибольшее распространение получили степенной и аддитивный критерии оптимизации. Многокритериальная задача сводится к задаче математического программирования (116) путем объединения m выходных параметров y j (X ) , имеющих условия работоспособности типа неравенств, в целевую функцию F(X ) соответственно для степенного и аддитивного критериев:
m |
|
yajj (X), |
|
j 1 |
|
F(X) |
(127) |
m |
yj(X), |
j |
|
j 1 |
|
где a j и j – весовые коэффициенты, отражающие степень важности соответствующего выходного параметра и рассчитываемые на основе мнений экспертов.
В некоторых методиках расчета весовых коэффициентов от экспертов требуется непосредственное указание значений этих коэффициентов. Отсутствие четкой интерпретации понятия важности выходных параметров затрудняет работу экспертов и придает результатам экспертизы субъективный характер. Эксперту гораздо проще ответить на вопрос, какой из двух вариантов объекта, различающихся значениями выходных параметров, более предпочтительный.
Это обстоятельство используется в экспертном методе определения
167
целевой функции для аддитивного критерия по результатам парных сравнений. Информация о предпочтительности вектора Y1q перед вектором Y 2q в q-й паре сравниваемых вариантов при общем числе r пар вариантов после ее обработки приводит к получению весовых коэффициентов.
m |
подлежит минимизации и эксперт установил, что |
Пусть (Y ) j y j |
|
j 1 |
|
Y A >Y B , где > – символ отношения предпочтения, т.е. Y A (yA1, yA2,... yAm ) лучше, чем Y B ( yB1, yB2,... yBm ) . Тогда пространство весовых коэффициентов
j оказывается разделенным на две части. В одной части находятся точки
( 1, 2 ,... m ) такие, что
m |
m |
(128) |
|
j yA j j yBj , |
|
j 1 |
j 1 |
|
в другой части – остальные точки. Уравнение границы между этими частями:
m |
(129) |
j (yBj yAj ) 0. |
j 1
Проведя экспертизу по всем парам вариантов, получим систему из r неравенств типа (128), которые в случае своей непротиворечивости задают в пространстве весовых коэффициентов многогранный конус допустимых значений вектора . На рис. 46 штриховкой показан конус для случая, когда эксперт указал предпочтения для трех пар вариантов, давшие уравнение типа (129) для линий 1...3.
2 
3
1
2
*
1
168
Рис. 46. Конус допустимых значений весовых коэффициентов
Можно выбрать любую точку, удовлетворяющую условиям предпочтения. Но надежнее всего мнение экспертов будет учтено, если точка будет лежать на прямой, занимающей в конусе положение наиболее удаленной от его граней. На рис. 46 такая прямая показана пунктиром. Введя дополнительное условие
m |
|
получим конкретную точку * ( 1 *, 2 *,... m *), |
нормировки j |
1, |
|
j 1 |
|
|
являющуюся решением задачи назначения весовых коэффициентов.
6.6. Содержание методов оптимизации в САПР
Характерная особенность задач оптимизации в САПР – высокая размерность используемых ММ, отсутствие аналитических выражений для расчета выходных параметров. Целевую функцию и ограничения в постановке (95), как правило, нельзя исследовать в общем виде. Поэтому оптимизация в САПР поисковая, сводящаяся к многошаговому вычислительному процессу последовательного приближения к искомому экстремуму. Каждый шаг процесса заключается в переходе из точки X k 1 в пространстве управляемых параметров в точку X k . Для такого перехода нужно определить такое направление gk перемещения и величину шага hk в этом направлении, что X k X k 1 hk gk . Получающаяся последовательность точек (Х0, Х1, Х2, ...
ХN), называемая траекторией поиска, должна сходиться в экстремальной точке Х*. Окончание поиска связывается с попаданием текущей точки поиска X k в
169
заданную окрестность экстремальной точки. Однако точка Х* неизвестна заранее, поэтому возможны различные варианты интерпретации условия окончания поиска.
Управляемые параметры в своей исходной трактовке являются величинами с различными физическими размерностями. В процессе поиска необходимо их сопоставление, определение расстояний между точками и другие операции, возможные только при условии нормирования управляемых параметров. Изменение способа нормирования приводит к деформации пространства управляемых параметров, к изменению траекторий поиска.
Таким образом, содержанием любого метода или алгоритма поисковой оптимизации должны быть способы выбора: направления поиска gk ; величины шага hk ; формул для нормирования управляемых параметров; критерия окончания поиска. Эффективность поиска зависит от того, как сделан этот выбор. Составляющими эффективности являются надежность, точность, экономичность. Надежность определяется как вероятность достижения заданной -окрестности экстремальной точки при применении данного метода; точность характеризуется гарантированным значением ; экономичность отождествляется с потерями на поиск. Потери на поиск выражают трудоемкость процедуры оптимизации, которую в большинстве случаев оценивают количеством обращений к ММ объекта.
В ПМК оптимизации, используемых в САПР, методы и алгоритмы поиска обычно группируются в зависимости от постановки решаемого класса задач. Имеются группы методов безусловной, условной, дискретной оптимизации, центрирования и вписывания гиперфигур.
Рассматриваемые методы являются методами поиска локальных экстремумов. Это основные методы в САПР, так как методов глобальной оптимизации, обеспечивающих нахождение глобального экстремума с приемлемыми потерями на поиск, для задачи математического
170