соответствует решению методом Ньютона, основанному на линеаризации уравнений, стрелка 9 - методами Зейделя, Якоби, простой итерации и т.п. Решение системы ЛАУ сводится к последовательности элементарных операций (10) с помощью методов Гаусса или LU-разложения.

В радиоэлектронной промышленности непрерывные ММ применяются в подсистемах проектирования электронных компонентов, фрагментов БИС, источников питания, радиотехнических схем и систем. В САПР ЭВМ непрерывные ММ используются для проектирования элементной базы, анализа тепловых режимов, электромеханических периферийных устройств, вторичных источников питания.

4.2.2. Дискретные математические модели

В ряде предметных областей удается использовать специфические особенности функционирования объектов для упрощения ММ. Примером являются электронные устройства цифровой автоматики, в которых возможно применять дискретное представление таких фазовых переменных, как напряжения и токи.

Проектирование ЭВМ и вычислительных систем (ВС) на функциональнологическом и системном уровнях основано на применении дискретных ММ. При моделировании в подсистемах функционально-логического проектирования принимаются те же допущения, что и при моделировании аналоговых систем на верхних уровнях. Кроме того, моделируемый объект представляется совокупностью взаимосвязанных логических элементов, состояния которых характеризуются переменными, принимающими значения в конечном множестве. В простейшем случае это множество {0, 1}. Непрерывное время t заменяется дискретной последовательностью моментов времени tk, при этом длительность такта t tk 1 tk . Следовательно, математической моделью

84

где V` - вектор внутренних и выходных переменных, относящихся к моменту времени tk; V – вектор тех же переменных, но относящихся к данному моменту времени tk+dt; U - вектор входных переменных в момент времени tk..

Такие логические модели существенно более экономичны, чем модели электрические, описывающие изменения напряжений и сил токов как непрерывных функций времени.

Структурные модели также делятся на модели различных иерархических уровней. При этом на низших иерархических уровнях преобладает использование геометрических моделей, на высших иерархических уровнях используются топологические модели.

По степени детализации описания в пределах каждого иерархического уровня выделяют полные ММ и макромодели.

Полная ММ модель, в которой фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояния всех имеющихся межэлементных связей (т.е. состояния всех элементов проектируемого объекта).

Макромодель - ММ, в которой отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укрупненном выделении элементов.

Понятия «полная ММ» и «макромодель» относительны и обычно используются для различения двух моделей, отображающих различную степень детальности описания свойств объекта.

По способу представления свойств объекта функциональные ММ делятся на аналитические, алгоритмические и имитационные.

Аналитические ММ представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних параметров. Такие ММ характеризуются высокой экономичностью, однако получение уравнения в такой

85

форме удается лишь в отдельных частных случаях, как правило, при принятии существенных допущений и ограничений, снижающих точность и сужающих область адекватности модели.

Алгоритмические ММ выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма. Типичная алгоритмическая ММ включает алгоритм выбранного численного метода решения и алгоритм вычисления вектора выходных параметров как функционалов решения системы уравнений V(Z).

Имитационная ММ - алгоритмическая модель, отражающая поведение исследуемого объекта во времени при задании внешних воздействий на объект. Примерами имитационных ММ могут служить модели динамических объектов в виде систем ОДУ и модели систем массового обслуживания, заданные в алгоритмической форме.

Для получения ММ используют методы неформальные и формальные.

На каждом иерархическом уровне проектирования различают понятия математических моделей системы (ММС) и элемента (ММЭ) системы.

Неформальные методы применяют на различных иерархических уровнях для получения ММЭ. Эти методы включают изучение закономерностей процессов и явлений, связанных с моделируемым объектом, выделение существенных факторов, принятие различного рода допущений и их обоснование, математическую интерпретацию имеющихся сведений и т.п. Для выполнения этих операций в общем случае отсутствуют формальные методы, в то же время от их результата существенно зависят показатели эффективности ММ - степень универсальности, точность, экономичность. Поэтому построение ММЭ, как правило, осуществляется квалифицированными специалистами, получившими подготовку как в соответствующей предметной области, так и в вопросах математического моделирования на ЭВМ.

Применение неформальных методов возможно для синтеза ММ

86

теоретических и эмпирических. Теоретические ММ создаются в результате исследования процессов и их закономерностей, присущих рассматриваемому классу объектов и явлений; эмпирические ММ - в результате изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерений фазовых переменных на внешних входах и выходах и обработки результатов измерений.

Решение задач моделирования элементов облегчается благодаря тому, что для построения большинства технических объектов используются типовые элементы (количество типов сравнительно невелико). Поэтому разработка ММЭ производится сравнительно редко. Единожды созданные ММЭ заносятся в библиотеку и в дальнейшем многократно применяются при разработке разнообразных систем из этих элементов. Примерами таких ММ на микроуровне служат описания конечных элементов для анализа напряженно-деформированного состояния деталей, плоские элементы в форме треугольников и четырехугольников, трехмерные элементы типа параллелепипеда, тетраэдра и т.п.; примерами типовых ММ геометрических элементов могут служить уравнения дуг окружностей, плоскостей и поверхностей второго порядка; примерами типовых

ММэлементов на макроуровне являются ММ элементов интегральных схем - транзисторов, диодов, резисторов, конденсаторов.

Вто же время число систем, создаваемых на заданной элементной базе, может быть очень большим, и для каждого исследуемого варианта каждой проектируемой системы нужно иметь свою ММ системы (ММС). Поэтому задачи получения ММЭ и ММС различные.

Формальные методы применяют для получения ММС при известных ММЭ. Таким образом, в программах автоматизированного анализа, используемых

в САПР, получение ММ проектируемых объектов обеспечивается реализацией

ММэлементов и методов формирования ММ систем.

87