2 Векторное поле. Векторные линии

Если в каждой точке пространственной областизадан определенный векторто говорят, что в этой области задановекторное поле. Векторное поле задается тремя скалярными функциями , являющимися проекциями векторана координатные оси декартовой системы:

.

Примерами векторных полей могут служить поле электрической напряженности, силовое поле, поле скоростей текущей жидкости и др. Векторное поле тоже может быть плоским, например,

.

Векторной линией поля называется такая линия, касательная в каждой точке которой направлена вдоль заданного в этой точке вектора поля (рисунок 1).

Рисунок 1

Всякое векторное поле обладает семейством векторных линий. Уравнения этого семейства есть общее решение дифференциальных уравнений вида

. (4)

Задача 2. Для плоского поля найти уравнения семейства векторных линий и векторной линии, проходящей через точку

Решение. Так как то, согласно равенству (4), уравнение семейства одно и определяется общим решением дифференциального уравнения

.

Это уравнение линейное относительно как функции от. Решая его методом вариации произвольной постоянной, получим общее решение в виде

.

Выделим из этого семейства одно решение то, которое представляет собой уравнение векторной линии, проходящей через точку . Подставив в общее решениеполучимИтак, искомая векторная линия

3 Поток векторного поля

Пусть в поле вектора задана ориентированная поверхность. Обозначим черезединичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности в ее произвольной точке. Поверхностный интеграл первого рода по поверхностиот скалярного произведения векторана вектор

(5)

называется потоком векторного поля через ориентированную поверхность и обозначается. В случае замкнутой поверхностипоток записывается в виде

.

Если ввести в рассмотрение вектор и обозначить его проекции на оси координатто формулу (5) можно переписать в виде

(6)

где вектор направлен по нормали к выбранной стороне поверхности. Правая часть равенства (6) является поверхностным интегралом второго рода.

Если, например, – поле скоростей текущей жидкости в областии– незамкнутая поверхность с выбранным направлением нормали, торавен количеству жидкости, проходящей в единицу времени через поверхностьв направлении. Если– замкнутая поверхность, ограничивающая некоторую областьс внешней нормалью, торавен разности количеств втекающей в эту область жидкости и вытекающей. Когдаэто означает, что в областиимеютсяисточники (где векторные линии порождаются), а если то это указывает на наличие в областистоков (где векторные линии заканчиваются).

Если ориентированная поверхность задана явно непрерывно дифференцируемой функциейто по формуле (6) можно получить следующую формулу, связывающую поверхностный интеграл по поверхностис двойным интегралом по проекцииэтой поверхности на плоскость:

(7)

где знак плюс берется, когда интегрирование в левой части ведется по стороне положительно ориентированной по отношению к оси- вектор нормали к ориентированной поверхности. Записьозначает, что в произведениипеременнуюследует заменить на

Если поверхность задана явно уравнениемилито соответственно меняются роли переменных в формуле (7).

Замечание. Если поверхность задана уравнениемкоторое неоднозначно разрешается относительно одной из переменных и, следовательно, поверхностьнеоднозначно проецируется на соответствующую координатную плоскость (например- цилиндрическая поверхность неоднозначно проецирующаяся на плоскость), ее следует разбить на части, однозначно проецирующиеся на координатную плоскость.

Задача 3. Вычислить поток вектора через нижнюю сторону поверхности, отсеченной плоскостью(рисунок 2).

Рисунок 2

Решение. Учитывая, что имеет различный знакдля правой и левой части поверхности, а– сохраняет отрицательный знак для всей поверхности, будем иметь

где – правая часть поверхности (нормаль к ней составляет сострый угол),– левая часть поверхности. Первые два слагаемых уничтожаются, так какиимеют одинаковую проекцию наОкончательно имеем :

где – проекциянаимеет форму круга с границей. Поэтому, переходя к полярным координатам, получим