Машинный эпсилон

Как известно, существует 2 вида погрешностей вычисления — абсолютная и относительная (Ошибки вычислений). Под относительной погрешностью понимается отношение

где – значение, полученное при округлении, а - точное значение вычислений.

Представим, что результатом округления действительного числа стало число . Худшему случаю округления соответствует абсолютная погрешность, равная , где . В мантиссе результата округления позиций , в мантиссе абсолютной погрешности позиция.

При попытке написать неравенство для относительной погрешности, соответствующей упомянутой выше абсолютной погрешности, несложно получить, что

.

Величину принято называть машинным эпсилоном (machine epsilon). Таким образом можно утверждать, что при округлении дробного числа ближайшим к нему числом с плавающей точкой относительная погрешность округления не превосходит машинного эпсилона.

Существует и другое определение. Машинный эпсилон можно определить как минимальное положительное число, которое будучи прибавлено к единице даёт результат отличный от единицы. Читателю предлагается проверить эквивалентность этих определений самостоятельно.

Стандарт IEEE

Существует два разных стандарта IEEE для чисел с плавающей точкой. IEEE 754 - двоичный стандарт и требует, чтобы , а для одинарной точности (single) и для двойной точности (double). Также в стандарте IEEE 754 точно обговорено использование битов при представлении чисел в одинарной и двойной точностях. В стандарте IEEE 854 может принимать значение 10 или 2. Также ничего не говорится о распределении битов между мантиссой и степенью.

Понятие стандарт IEEE используется для обозначения свойств, присущих обоим из перечисленных стандартов.

Основание степени

Выбор в качестве основания степени 10 не требует особых разъяснений. Десятичная система - система, привычная для человека. В случае двоичной системы стоит обсудить некоторые достоинства, присущие ей. Мы договорились использовать нормализованные формы чисел. Если , то в старшей позиции может стоять только 1. Это даёт нам возможность не хранить эту единицу в памяти и тем самым получить дополнительный бит для мантиссы. В этом случае принято говорить, что стандарт использует скрытый бит (hidden bit).

Вернёмся к вопросу о представлении нуля в нормализованной форме. Ноль соответствует нулевой мантиссе и степени . Таким образом ноль представляется в виде .

Точность представления

Стандарт IEEE предлагает 4 разных точности: одинарная (single), двойная (double), одинарная расширенная (single-extended) и двойная расширенная (double-extended). IEEE 754 жёстко обговаривают число бит одинарной и двойной точности. Это означает, что на всех ЭВМ, поддерживающих IEEE 754, количество бит в представлении чисел с одинарной точностью и с двойной точностью фиксированы. Количество бит расширенных точностей жёстко не фиксируется. Расширенные форматы призваны хоть немного увеличить количество бит на мантиссу и на показатель степени. Ниже представлена таблица параметров различных точностей в стандарте IEEE.

Форматы
Параметры	Формат
	Single	Single-extended	Double	Double-extended
p	24	32	53	64
	+127	1023	+1023
	-126		-1022
Показатель степени	8 бит	бит	11 бит	15 бит
Длинна записи	32 бит	43 бит	64 бит	79 бит

Приведём ещё одну таблицу для наглядности.

	Single	Double
Самое маленькое нормализованное число	(примерно )	(примерно )
Самое большое нормализованное число	(примерно )	(примерно )
Машинный эпсилон