Международный стандарт представления чисел с плавающей точкой в эвм

Содержание [убрать] 1 Введение 2 Числа с плавающей точкой 2.1 Машинный эпсилон 3 Стандарт IEEE 3.1 Основание степени 3.2 Точность представления 3.3 Показатель степени 3.4 Операции и округление 3.5 Специальные значения 3.5.1 NaN 3.5.2 Бесконечность 3.5.3 Ноль со знаком 3.5.4 Ненормализованные числа 4 Доступ к формату в различных компиляторах 4.1 Visual Studio C++ (2003, 2005) 4.2 Borland C compiler (3.1) 4.3 GCC compiler (3.4) 5 Список литературы 6 См. также

Введение

Практически любой язык программирования даёт возможность использовать в вычислениях дробные числа. Когда дело касается программной реализации численных методов или любых других вычислений на ЭВМ, важным вопросом является внутреннее представление чисел, с которым приходится работать программисту. От этого главным образом зависит точность вычислений,а также их скорость.

В этом отчёте будут рассматриваться те аспекты представления чисел в ЭВМ, которые важны пользователям, желающим активно работать с вещественными величинами. Вначале будут введены общепринятые понятия для дальнейшего изложения материала. Будет достаточно подробно рассмотрен наиболее часто используемый стандарт IEEE 754. В заключение будут приведены способы доступа к основным параметрам представления вещественных чисел в ряде компиляторов (Microsoft Visual Studio (2003,2005), Borland C (3.1), GCC(3.4) ).

Числа с плавающей точкой

Числа с плавающей точкой - общепринятая форма представления действительных чисел в ЭВМ. Основными параметрами такой формы представления является основание степени (base) и точность (precision). При этом всегда требуется, чтобы основание степени было целым чётным числом. Если и , то число 0.1 представляется в виде . Однако, очевидно, что при определённых параметрах некоторые числа не удастся представить точно. Например, при и то же самое число 0.1 представляется приблизительно в виде (поскольку в бинарном представлении число 0.1 имеет бесконечный вид).

В общем случае при заданных параметрах запись вида представляет число

При этом называется мантиссой числа и состоит из позиций. В дальнейшем под числом с плавающей точкой мы будем понимать действительные числа точно представимые в смысле данной формы.

Существуют ещё два важных параметра — максимальный и минимальный показатели степени и . Таким образом, при фиксированных параметрах мы можем представить разных чисел с учётом знака.

Здесь возникает проблема - что делать с числами, не представимыми точно. Чаще всего такая ситуация возникает при попытке представить числа, имеющие слишком длинное или вообще бесконечное представление (пример с 0.1). В этом случае нужное нам число лежит где-то между двумя числами с плавающей точкой и будет представляться одним из них. Реже встречается попытка использовать числа, меньшие чем , или большие чем . Подробнее об этих случаях речь пойдёт в разделе "Стандарт IEEE".

Введём ещё одну договорённость. Пока что представление чисел с плавающей точкой неуникально. Например, при и число 0.1 можно представить как и как . Представление числа, в старшей позиции которого стоит цифра, отличная от нуля , мы будем называть нормализованным. Использование нормализованных форм решает проблему неединственности представления чисел с плавающей точкой. (Однако, при такой договорённости возникает интересный вопрос — как представлять 0?)