вычМатКурсач / 4 Анализ сложения большого множества чисел

Анализ сложения большого множества чисел, близких по величине

Содержание [убрать] 1 Введение 1.1 Постановка математической задачи 1.1.1 Искажение значений при вводе. 1.1.2 Погрешности задания данных. 1.2 Виды погрешностей 2 Арифметические операции 3 Числовой пример 4 Заключение 5 Список литературы

Введение

Постановка математической задачи

Пусть имеется множество чисел, близких по величине.Каждому числу вещественному числу в компьютере ставится в соответствие его приближение . Различие и может быть обусловленно несколькими причинами:

Искажение значений при вводе.

Автоматическое преобразование из внешнего, десятичного представления, во внутренний, двоичный формат, производится при вводе дробных значений. Только целое значение может быть преобразовано в двоичное представление точно. Дробное число в общем случае может быть преобразовано во внутренний формат лишь приближенно.

Погрешности задания данных.

Данные могут быть предоставлены неточно по многим внешним причинам.

Виды погрешностей

Различают два вида погрешностей: абсолютные и относительные погрешности. Абсолютная погрешность определяется формулой

где – приближение точного значения . Относительная погрешность определяется формулой

Арифметические операции

Будем рассматривать сложение чисел,близких по величине.Пусть имеется два числа и . В компьютере они представлены в виде чисел с плвавающей точкой и соответственно. Как известно при сложении абсолютные погрешости складываются так что Также существует ошибка арифметический операций,ее мы учитывать не будем (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке). Если x и y - положительные нормализованные числа с плавающей точкой в двоичном представлении, и Тогда при вычислении разности теряется от до значащих цифр. Так как для двоичного представления чисел выполнено , то это означает что относительная ошибка может существенно возрасти. Следовательно рекомендуется избегать сложения чисел близких по величине, но различных по знаку. Следствием погрешности представления вещественных чисел и округлений является утеря некоторых свойств арифметических операций. При переходе к машинной арифметике сохраняются коммутативность сложения . Ассоциативность этой операции нарушается.

Числовой пример

Заключение