1.3.1. Методы расчёта внешнего магнитного поля индукционных электрических машин.

Современный подход к формулированию конкретной задачи по определению ВМП заключается в наиболее полном отражении реальной картины вызывающих его источников, сложной геометрической формы активных и конструктивных частей. Источниками ВМП являются, как правило, обтекаемые токами, намагниченные элементы конструкции электротехнических устройств.

Общими допущениями для большинства рассматриваемых работ по определению внешних полей являются: квазистационарное приближение; упрощенная расчетная модель электрической машины; замена вращающегося или бегущего поля машины двумя пульсирующими; установившийся режим работы; учет гармоник поля только на частоте питающей сети; постоянство удельной электропроводности и магнитной проницаемости, а также изотропность сред.

В [49] впервые решена задача по определения ВМП ЭМП применительно к генератору переменного тока. Источником внешнего поля является сердечник статора генератора. При расчете он заменяется полым ферромагнитным шаром, с аналогичным размером внешнего и внутреннего радиуса. Полученное решение для скалярного магнитного потенциала имеет вид секторальной пространственной сферической гармоники, степень и порядок которой равны числу пар полюсов машины. Коэффициенты гармоники определены по граничным условиям на поверхности сердечника. Недостаток данной модели в том, что её геометрическая форма, удобная для решения краевой задачи, не соответствует цилиндрической форме машины, полученное решение не позволяет установить зависимость ВМП машины от длины сердечника.

В работах [50-55] разработан метод моделирования ВМП ЭМ с помощью магнитных диполей, создающими в окружающем пространстве поле, близкое к реальному. Дипольное представление ВМП дает возможность осуществлять расчёт экранирующих оболочек аналитическими методами [50,52]. Определение параметров диполей производится по известным напряженностям поля на сферической поверхности [50]. Напряженности поля определяются аналитически: путём решения задач математической физики для векторного магнитного потенциала в слоях асинхронного двигателя со сшиванием решений на граничных поверхностях вплоть до выхода во внешнее пространство.

При нахождении первого диполя модели используют радиальную компоненту напряженности поля в ряде точек

(1.3.1)

где радиус статора двигателя;‑ компоненты момента диполя, являющиеся временными функциями;‑ координаты центра диполя;‑заданная погрешность дипольного представления ВМП.

По изложенной методике рассчитано и экспериментально исследовано внешнее поле АД типа А-42-4. Расходимость расчетных и экспериментальных данных по определению дипольных компонентов момента составила не более 30%.

В работе [51] устанавливается приближенная аналитическая зависимость модуля момента дипольной модели ВМП ЭМ от напряжения, тока и частоты питающей сети. Для построения дипольной модели используется метод подобный, описанному в [50] .

В [52] приводятся уравнения для количественной и качественной оценки точности дипольного представления ВМП источника. Параметры диполей (координаты центра и компоненты магнитного момента) определяются из системы нелинейных функциональных уравнений, составленной по заданным на одной из координатных поверхностей 2-го порядка значениям напряженности магнитного поля

, (1.3.2)

где ‑напряженность поля на поверхности S; ‑вектор магнитного или электрического дипольного момента; ‑относительные магнитная и электрическая проницаемость среды соответственно; ‑ расстояние от точкиL расположения диполя до точки наблюдения Q.

На примерах показывается достаточная для инженерных приложений точность определения параметров диполей, погрешность определения модулей моментов диполей 10%.

В [55] приведены результаты экспериментальных исследований экранирования ВМП катушки с током экранирующими сетчатыми оболочками (круговой цилиндрической или сферической формы). Индуктивными датчиками, подключенными к комплектам анализаторов гармоник измерялись действующие значения наводимых в индуктивных датчиках ЭДС, пропорциональных ВМП. Отклонения расчётных и экспериментальных данных составили 25%.

Недостатками дипольных моделей [50-55] внешнего магнитного поля являются:

- необходимость наличия данных о характере распределения полей на какой-либо геометрической поверхности, охватывающей источники полей, т.к. только в этом случае возможна замена реальных источников магнитного поля эквивалентными моделями, представляющими набор диполей;

- для определения параметров диполей эквивалентной модели необходимо располагать информацией о размещении источников и их геометрии;

- из-за сложностей геометрической интерпретации мультиполей высокого порядка обычно используются дипольные и квадрупольные модели, что снижает точность аппроксимации ВМП.

Модели [50-55] применяются в основном для оценки вредного воздействия электромагнитных полей электрооборудования на работу автоматических и вычислительных комплексов, на линии связи и приборы, а также на биологические функции обслуживающего персонала; при расчёте пассивных экранирующих оболочек и активных компенсирующих систем.

В работах [56,57] ВМП ЭМ рассчитывается аналитически на основе теории сферических или бесконечной длины экранов. Путём решения уравнений поля внутри, вне и в стенках экрана выведены уточненные выражения, устанавливающие зависимость коэффициента экранирования, как от параметров экрана, так и от частоты и порядка основной пространственной гармоники источника поля. Цилиндрический корпус машины заменяется сплошной полой сферической оболочкой той же толщины и внутренним радиусом, равным соответствующему радиусу корпуса или определяемому из условия равенства их внутренних объемов. Сделан вывод, что для расчёта замкнутых цилиндрических оболочек, экранирующих вращающееся двухполюсное поле, пригодны формулы для сферического экрана, возбуждаемого магнитным диполем.

В [57] предлагается аппроксимирующая формула для приближенной оценки характера изменения ВМП электрической машины с расстоянием

(1.3.3)

где Н₀ – известное значение напряженности поля на расстоянии от центра мультиполя или электрической машины;a,b,k – функции отношения длины обмотки машины к её диаметру;р – число пар полюсов машины.

Недостатком работ [56,57] является то, что при проведении эксперимента использовались простейшие макеты машин в виде трехфазных обмоток, не содержащие стальных частей, которыми нельзя удовлетворительно учесть сложную геометрическую форму корпусных деталей, оболочек и сердечника, что в значительной степени снижает точность расчёта ВМП.

Предложенными выше расчётными моделями невозможно удовлетворительно учесть влияние высших гармоник внешнего электромагнитного поля.

В работах [47,48, 58-62] исследование внешнего магнитного поля любой природы строится на анализе его магнитной сигнатуры, т.е. зависимости сигнала магнитометрического датчика от изменения текущего положения объекта. Основой пространственной спектральной модели ВМП служит ряд Гаусса, который в классическом представлении Шмидта имеет вид

, (1.3.4)

где скалярный потенциал ВМП объекта;соответственно косинусные и синусные спектральные коэффициенты (постоянные Стокса);сферические функции, равные

где ‑ присоединенные полиномы Лежандра первого рода степени n и порядка m; R, ,  ‑ сферические координаты точки определения потенциала.

В работе [60] оценена интенсивность внешнего магнитного поля токопровода и межкатушечных соединений в ЭМ по значениям амперовских магнитных моментов показано, что ВМП соединений существенно влияет на значение суммарного внешнего поля машины, а в машинах переменного тока приводит к различным значениям ВМП при разном направлении вращения.

В [47,48,61,62] теми же авторами проведен пространственный гармонический анализ внешнего поля технических объектов.

Недостатками [47,48,58-62] является отсутствие подтверждения теории данными эксперимента или недостаточно полное описание экспериментальных исследований внешнего магнитного поля.

В работах [63,64] используется мультипольное представление ВМП ЭМ и её токовых контуров, основанное на известном преставлении решения уравнения Лапласа во внешней области в виде ряда пространственных сферических гармоник

(1.3.6)

где скалярный магнитный потенциал внешнего магнитного поля;‑ координаты точкив которой определяется поле;сферические многочлены Лежандра; ‑ коэффициенты мультипольного представления скалярного магнитного потенциала.

В работе [64] внутреннее поле ЭМ считается известным. ВМП аппроксимируются пространственными сферическими гармониками низших порядков. Мультипольные коэффициенты вычисляются с помощью поверхностных интегралов по рассчитанным методом конечных элементов значениям магнитного поля на замкнутой цилиндрической поверхности, выбранной вблизи корпуса внутри расчётной области. Предлагается способ уменьшения расчётной области путем введения на некотором расстоянии от корпуса граничной поверхности, заполнения внешнего пространства за её пределами средой с бесконечно большой магнитной проницаемостью и задания на ней нулевых значений скалярного магнитного потенциала.

В работах [63,64] внешнее магнитное поле является алгебраической суммой полей, создаваемых обмотками машины и различными намагниченными ферромагнитными участками машины (сердечниками якоря и полюсов, станиной и т.п.), но эти поля во внешней среде ЭМ взаимокомпенсируются и поле каждого может быть намного больше результирующего. Расчёт ВМП по отдельным источникам поля сильно снижает точность результата.

В работах [65,66] для решения задачи определения внешнего магнитного поля машины постоянного тока использована расчётная модель в виде цилиндрического тела с =. Граничные условия учтены путём введения поверхностных токов. Получено выражение для основной пространственной сферической гармоники внешнего магнитного поля. Задача решается в сферических координатах .

, (1.3.7)

где L – длина станины; R – радиус внешней поверхности статора; амплитуды первых (порядкар) пространственных гармоник ряда Фурье, соответственно, с синусным и косинусным распределениями напряженности поля.

Проанализировано влияние на внешнее поле режима работы и несимметрии конструкции. По этим выражениям можно дать оценочное определение ВМП реальной многополюсной бескорпусной машины постоянного тока. По данной модели нельзя удовлетворительно оценить внешнее магнитное поле машины переменного тока и машины с малым числом полюсов.

В работе [67] для учёта и снижения вредного влияния ВМП разработана математическая модель внешнего магнитного поля асинхронного двигателя малогабаритного исполнения с комбинированным экраном, на частоте питающей сети. Исходными данными при расчёте являются частота питания, электромагнитные нагрузки, обмоточные данные, геометрические размеры и физические свойства сред.

При построении модели ВМП лобовых частей обмоток АД предлагается метод аппроксимации внешнего поля лобовых частей совокупностью гармонически распределенных токовых слоёв, обтекающих цилиндрическую поверхность конечной длины, при этом используется уравнение Лапласа для скалярного магнитного потенциала, который в произвольной точке пространства, в сферических координатах определяется как

(1.3.8)

где ;;коэффициенты ряда;‑ функции Лежандра.

Недостатками данного метода является сложность вычислений коэффициентов ; сложность также составляет использование ряда (1.3.8), т.е. если использовать систему координат единую для всех элементарных участков, центр которой, например, совпадает с осью машины, а не рассматриваемого участка, то использование выражения (1.3.8) возможно только после переразложения каждого члена ряда в этой системе, что влечёт усложнение вычислений.

В [68] разработан метод расчёта магнитного поля ЭМ, в котором магнитные и электрические свойства среды, используемые в уравнениях Максвелла для ЭМ, выражаются аналитически с помощью разрывных функций. Это дает возможность устранить разрывы первого рода на границах раздела сред и получить в этих точках средние значения магнитной проницаемости и индукции магнитного поля. Метод имеет удовлетворительную сходимость с другими методами и позволяет получить решение уравнений в виде одного аналитического выражения, справедливого как внутри машины, так и за её пределами.

В работе [69,70] расчёт ВМП ЭМ производится по известным значениям скалярного магнитного потенциала или напряженности поля на поверхности корпуса. Используется метод граничных возмущений, посредством которого исходная задача с граничными условиями на реальной (деформированной) поверхности, приводится к эквивалентной задаче на опорной (невозмущенной) поверхности с индуцированными вторичными источниками – потенциалами. Затем по найденным на опорной поверхности источникам ищется решение для ВМП в дальней зоне. Данная расчётная модель удобна при расчёте ВМП машин постоянного и переменного тока в хорошо экранирующем корпусе. Для геометрически подобных машин, принадлежащих к одной серии и имеющих цилиндрическую форму наружной поверхности, в [70] получены формулы, устанавливающие ориентировочные соотношения между их внешними магнитными полями в сфероидальных координатах

(1.3.9)

где t=0,1,2,3…; m – число пар полюсов машины; присоединенные функции Лежандра первого и второго рода;;;‑ заданная тангенциальная компонента поля;‑ эксцентриситет;L – активная длина машины; D – наружный диаметр машины.

На основе представления наружной поверхности сфероидами выведена также приближенная зависимость дипольных магнитных моментов ВМП от номинальной мощности ЭМ. Данная модель удобна только для приближенных расчётов машин с хорошо экранированным корпусом, у которых известны электромагнитные нагрузки и геометрические размеры.

В статье [71] магнитное поле турбогенератора рассчитывается на внешней поверхности корпуса и в непосредственной близости от него. Активная сталь статора, воздушный промежуток между корпусом и сердечником, металлическая оболочка корпуса и внешнее пространство моделируются бесконечно длинными коаксиальными цилиндрами. Постоянные интегрирования определены из граничных условий. Задача решена с помощью уравнений Максвелла в плоскопараллельной постановке в цилиндрической системе координат. Получено также выражение для коэффициента экранирования корпуса и исследована его зависимость от частоты и порядка экранируемых пространственных гармоник поля. В статье не приведены результаты численных расчётов и экспериментальных исследований.

В [72] значения параметров ВМП вычисляются методом базовой поверхности на основе экспериментальных данных с целью диагностики и прогнозирования состояния электротехнических устройств, аттестации полей устройств, построения диаграмм направленности антенных систем, проработки вопросов электромагнитной совместимости.

Согласно принципу наложения поперечно-электрических и поперечно-магнитных волн [73] общее решение уравнений Максвелла для одной из временных гармоник в сферической системе координат представляется выражением

(1.3.10)

где - комплексная напряженность внешнего магнитного поля в области с однородными и изотропными свойствами среды;поперечно-электрические и поперечно-магнитные волны;постоянные интегрирования.

Для данной математической модели невозможно строгая формулировка граничных условий. Этот метод неприменим при измерении слабых магнитных полей. Несмотря на то, что модель [72] строится на основе экспериментальных исследований, в статье нет описания эксперимента и экспериментальной установки, не рассмотрен численный метод расчёта поля и не даны данные о сходимости экспериментальных и расчётных данных.

В работах [74,75] расчёт ВМП ЭМ производится аналитическими методами на основе решения уравнений Максвелла с применением гармонического анализа, функций Бесселя, а также теории отражения электромагнитных волн. Используется цилиндрическая система координат с началом в центре симметрии машины. Обмотка статора и ротора замещаются поверхностными токовыми слоями, линейные плотности тока которых разлагаются в гармонические ряды: по тангенциальной координате – как периодические функции на отрезках, равных длинесоответствующих кольцеобразных областей. Система уравнений Максвелла сводится к уравнению Пуассона (в проводящей среде) или Лапласа (в непроводящей среде) для составляющих векторного потенциала. Многосвязные неоднородные области разбиваются на ряд односвязных кольцеобразных областей, моделирующих зону активной части, зону лобовых частей, конструктивные детали и внешнее пространство, с последующим применением метода продолжения функции в радиальном и аксиальном направлениях, вплоть до внешних границ. Для этих областей решение краевой задачи содержит функции Бесселя с большим индексом, которые аппроксимируются главными членами разложения в ряды. Постоянные интегрирования находятся из системы алгебраических уравнений, составленных по известным данным на границах раздела сред. Используется принцип суперпозиции полей отдельных токовых слоёв. Для проводящих тел даётся волновая интерпретация полученных решений.

Предложенный волновой метод расчёта внешнего поля [74-75], по мнению авторов, позволяет снизить трудоемкость вычислений. В качестве источника волн принята расчётная модель магнитопровода и обмоток машины. Основное и ВМП этой модели определяются путём решения уравнений электромагнитного поля. Коэффициенты экранирования корпуса и щитов выводятся на основе дифракции электромагнитных волн с использованием известных соотношений [76] между падающими, отраженными и прошедшими волнами. При этом над цилиндрической частью корпуса и за торцевыми щитами ВМП определяется независимо. Как указано в [74] результаты расчёта наиболее достоверны для точек пространства, находящихся вблизи от корпуса машины.

В работе [75] приведен расчёт трехмерного внешнего магнитного поля синхронной машины в зоне лобовых частей обмоток, получены уравнения составляющих вектора напряженности ВМП с учётом свойств материалов и геометрии тел, окружающих лобовые части обмоток. Приведены данные эксперимента по определения ВМП двухполюсного синхронного генератора мощностью 3000кВт, 50 Гц, ток холостого хода 201А; значения напряженности магнитного поля по данным эксперимента: А/м;A/м;A/м.

Полученные решения позволяют выбрать свойства материалов и геометрию основных конструктивных частей ЭМ. Недостатком модели является то, что в ней имеет место несоответствие реальных и используемых в расчётах значений физических параметров материалов. Магнитные параметры электротехнической стали одной и той же марки могут иметь существенный разброс от партии к партии, в то время как в расчётах используются обычно усредненные данные из стандартов. При этом следует отметить, что погрешность расчёта части ВМП, обусловленной магнитным потоком вблизи ферромагнитных тел и прямо пропорциональной напряженности магнитного поля на их поверхности, в значительной степени зависит от погрешности описания кривой намагничивания, чем, например, расчёт магнитной цепи сердечника, содержащей воздушный зазор, на который приходится большая часть МДС обмоток.

Рассмотренные выше методы расчёта, в частности, [47-64, 68-72, 74,75] не моделируют известный из многочисленных экспериментальных данных эффект при реверсе электрических машин с вращающимся полем, как различный (часто отличающийся в несколько раз) уровень переменного ВМП. В работе [75] авторы объясняют сущность этого явления совокупным действием анизотропии магнитопровода и неравномерности поля в воздушном зазоре. При этом следует отметить, что этот эффект в общем случае является следствием неодинакового изменения при реверсе фазы величин полей отдельных источников, в результате чего изменяется их суммарное ВМП. Кроме того данный эффект является следствием влияния таких факторов как: скос пазов, неодинаковое экранирующее действие щитов, неравномерность по окружности толщины корпуса и щитов и наличие в них отверстий, токовые контуры выводов и межкатушечных соединений.

В ряде рассмотренных работ получены математические модели, характеризующие распределение внешнего магнитного поля в пространстве, зависимость экранирующего действия корпусных оболочек от частоты питающей сети, числа полюсов и некоторых, других физических характеристик. При этом многие особенности электрической машины, как физической модели источника ВМП, вследствие математических или иных трудностей, учитываются приближенно или не учитываются вообще. При этом традиционно принимается ряд допущений и замена реальной конструктивной схемы расчётной. Более точный учёт влияющих факторов и реальных особенностей конструкции машины и, соответственно, уменьшение погрешности расчетов, вызванных допущениями, выполняется на основе дополнительных исследований введением коэффициентов и поправок.

В большинстве работ, исходя из характера принимаемых допущений и наличия факторов, трудно поддающихся учёту при математическом моделировании, предложенные методы позволяют выполнить только ориентировочные расчёты ВМП электрических машин.

В статьях часто не раскрываются методы измерений при экспериментальном исследовании, не даны оценка погрешности измерений и диапазоны мощностей исследуемых машин, для которых полученные выводы могут быть использованы.

Кроме того, многие авторы при оценке точности разработанных методик сравнивают расчётные и экспериментальные данные по значениям напряженности в ряде точек внешнего пространства вокруг машины. Такой способ нельзя назвать корректным, так как подобным образом можно сравнивать лишь однотипные источники поля. В то время, как расчётное ВМП упрощенной модели и реальное ВМП ЭМ всегда различны по характеру распределения в пространстве. Более правильным представляется сравнение по основным пространственным гармоникам, которые можно выделить по расчетным или экспериментальным значениям ВМП известными методами пространственного гармонического анализа. При экспериментальном исследовании также возможно непосредственное измерение основных пространственных гармоник ВМП специальными селективными измерительными устройствами. Однако во многих публикациях отсутствует описание подобного подхода к экспериментальным исследованиям внешнего магнитного поля, описание экспериментальных установок и их метрологических характеристик.

При расчете электромагнитного поля в зазоре ЭМП и их ВМП значительное влияние на изменение их параметров оказывает точность воздушного зазора. Анализ литературы показал, что большинство методик задачу определения погрешности размера и формы наружной поверхности ротора и расточки статора рассматривают как задачу плоскую. При проведении проверочных расчётов размерных цепей средний диаметр и овальность наружной поверхности ротора и поверхности отверстия статора замеряют в одном из поперечных сечений электродвигателя, чаще всего в среднем по длине активных частей статора и ротора поперечном сечении. Погрешности во всех остальных поперечных сечениях по длине статора и ротора принимают равными найденным погрешностям в среднем сечении, значения которых используют в проверочных расчётах размерной цепи неравномерности воздушного зазора [78].

Такие методики имеют низкую точность т.к. погрешности, найденные в одном поперечном сечении, не могут являться средними значениями погрешностей по длине расточки статора и ротора. Согласно другим применяемым методикам [79] определения погрешности формы расточки статора и наружной поверхности ротора замеряют диаметры в трех поперечных сечениях по длине активных частей, в каждом сечении в двух взаимно перпендикулярных направлениях – в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Затем подсчитывают среднее значение диаметра в горизонтальной и вертикальной плоскостях в отдельности. Среднее значение овальности определяют как полуразность между средними значениями диаметра в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

Данные методики также имеют большую погрешность определения овальности, так как среднее значение диаметров в вертикальной и горизонтальной плоскостях могут оказаться равными между собой при неравных значениях этих диаметров в каждом отдельном поперечном сечении. Таким образом, несмотря на то, что каждое поперечное сечение расточки статора и ротора имеет определенное значение овальности, среднее значение овальности, рассчитанное по данной методике, будет равно нулю, и погрешность формы ротора и статора вообще не будет учтена.

В отличие от упомянутых выше методик в 80предложена интегральная оценка технологических параметров статора и ротора в зависимости от технологических факторов, однако в работе нет расчёта электромагнитного поля в рабочем зазоре машины и не оценено влияние технологических параметров на внешнее магнитное поле.

Из проведенного здесь обзора можно выделить весьма небольшое число работ [47,48,72], в которых внешнее магнитное поле рассматривается в качестве диагностического признака состояния электрических машин, во всех остальных рассмотренных публикациях исследование поля проводится с целью определения его влияния на окружающие устройства и персонал, т.е. на работу автоматических вычислительных комплексов, на биологические функции обслуживающего персонала или решения вопросов электромагнитной совместимости.

Таким образом, создание математической модели ВМП, как диагностического признака электротехнических устройств, в частности индукционных машин переменного тока, и его экспериментального исследования с целью развития методов и средств диагностики является актуальной научно-технической задачей.