3.6. Расчет температурных напряжений в статически неопределимой стержневой системе

Задача 8.

Рис. 3.6.1

Стержень (рис. 3.6.1) подвергается нагреванию на t = 40. Определить наибольшее по абсолютной величине напряжение, если стенки, между которыми расположен стержень, абсолютно неподатливы.

Принять Е_м = 110⁵ МПа, Е_с = 210⁵ МПа, _м = 1,65 10^-5, _с = 1,25 10^-5.

Решение

При нагревании расширению стержня препятствуют недеформируемые стенки, поэтому на торцевых сечениях возникают реакции R_B и R_c. При одном возможном уравнении статического равновесия Z = 0 две неизвестные реакции. Стержень статически неопределим со степенью статической неопределимости m = 1.

1. Статическая сторона задачи

Уравнение статического равновесия (рис. 3.6.2)

Рис. 3.6.2

Z = Rc - RB = 0.

2. Деформационная сторона задачи.

Поскольку стержень защемлен, его общее удлинение L = 0. Общая абсолютная деформация стержня является суммой абсолютных деформаций его ступеней.

L = l_BD + l_DC,

абсолютная деформация каждой ступени состоит и температурной деформации и деформации от силы, возникающей от защемления стержня.

l_BD = l_BD(t) + l_BD(N), l_DС = l_DС(t) + l_DС(N),

тогда уравнение совместности перемещений принимает вид:

l_BD(t) + l_BD(N) +l_DС(t) + l_DС(N) = 0.

3. Физическая сторона задачи.

Температурные деформации:

l_BD(t) = _м l_BD t, l_DС(t) = _с l_DС t.

Силовая часть деформации по закону Гука

; .

Подставляя в уравнение совместности перемещений, учитывая длины участков и величины Е_с == 2Е_м (из условия задачи)

,

после преобразований:

.

Продольные силы N_BD и N_DС определим методом сечений (рис. 3.6.3):

	NBD = RB		NDC = RC
Рис. 3.6.3

После подстановки в уравнение

.

4. Синтез.

Система разрешающих уравнений

подставим R_C = R_B в первое уравнение

, откуда

.

Тогда напряжения, возникающие на участках стержня:

МПа.

МПа.

Таким образом, наибольшие сжимающие напряжения возникают в сечениях стального стержня _DC = 110,67 МПа.

Задача 9.

Рис. 3.6.4

Стальные стержни 1, с площадью А и медные 2, с площадью 1,5А шарнирно соединены в точке С при температуре t1 = 20. Определить напряжение в стержнях при понижении

температуры конструкции до t₂ = -40. Принять Е_м = 110⁵ МПа, Е_с = 210⁵ МПа, _м = 1,6510^-5, _с = 1,2510^-5.

Решение

При понижении температуры на t = 60 стержни получают температурные абсолютные деформации сжимается l(t) = _tlt, где _t – коэффициент температурного расширения, l – длина стержня, t – изменение температуры. Стержни изготовлены из разных материалов, разной длины, поэтому температурные деформации различны и появляются силовые деформации.

1. Статическая сторона задачи.

Рис. 3.6.5

Рассечем стержни и свяжем систему координат с точкой С. Предположим, что медные стержни сжимаются, стальные растягиваются, поскольку () -

коэффициент линейного расширения меди больше, чем у стали и все стержни соединены в узле С.

Запишем уравнения статического равновесия:

В одном уравнении две неизвестные силы.

Для получения еще одного уравнения рассмотрим деформационную сторону задачи.

2. Деформационная сторона задачи.

Рис. 3.6.6

После охлаждения точка С перейдет в точку С1. Отрезки СС2 = l2, СС3 = l1. Из СС1С2 отрезок , из СС1С3 отрезок ,

тогда , перемещениеl₂ является суммой температурной и силовой части деформации

,

подставим в уравнение

.

Полученное уравнение является уравнением совместности перемещений.

3. Физическая сторона задачи.

Температурные деформации

, .

По закону Гука ,.

Подставим в уравнение совместности перемещений

После преобразований и учитывая соотношение Е_с = 2Е_м

,

.

После преобразований

или

.

4. Синтез.

Система разрешающих уравнений

Подставим исходные данные

откуда 9,535N₂ = 81А, N₂ = 8,495А (МПаА),

тогда N₁ = 10,45А (МПаА).

Напряжения в стержнях:

в стальном стержне МПа,

в медном стержне МПа.

Напряжение в медном стержне со знаком минус, поскольку продольная сила n₂ сжимающая.

40