Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

примеры решения задач для ТМ,ОД,СП / 4 Растяжение к РГР1.doc

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2015

Размер:

2.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

3.4. Статически неопределимые стержневые системы

Стержневые системы, для которых реакции связей не могут быть определены из уравнений статического равновесия называются статически неопределимыми. Задача определения реакций связей, а затем внутренних силовых факторов в статически неопределимых стержневых системах называется раскрытием статической неопределимости.

Порядок раскрытия статической неопределимости:

Определяется степень статической неопределимости (число избыточных связей).
Рассматривается статическая сторона задачи (составляются уравнения статического равновесия для заданной стержневой системы.
Рассматривается деформационная сторона задачи (составляются уравнения совместности перемещений элементов стержневой системы).
Рассматривается физическая сторона задачи (используя закон Гука, в уравнение совместности перемещений вводятся неизвестные реакции связей).
Синтез. Составляется система разрешающих уравнений и определяются неизвестные реакции связей.

Основная трудность в решении таких задач заключается в особенностях составления уравнений совместности перемещений, соответствующих условиям деформирования заданной статически неопределимой стержневой системы.

Разберем несколько типов решения подобных задач.

Задача 1.

Рис. 3.4.1

Для ступенчатого стержня, жестко защемленного торцами (рис. 3.4.1), определить реакции в заделках.

Определить положение опасного сечения и подобрать параметр площади сечения А, если допускаемое напряжение на сжатие []_сж = 160 МПа; допускаемое напряжение на растяжение []_р = 60 МПа; q = 20 кН/м, l = 0,5 м.

Степень статической неопределимости m = 1, поскольку две неизвестных реакции в защемлении, а уравнений статического равновесия одно.

1. Статическая сторона задачи

Рис. 3.4.2

2. Деформационная сторона задачи:

Поскольку оба торца защемлены , т.е. общее удлинение стержня = 0. Общее удлинение стержня равно сумме удлинений его частей, тогдаявляется уравнением совместности перемещений.

3. Физическая сторона задачи:

По закону Гука , поскольку участокBD загружен распределенной нагрузкой.

На участке DC продольная сила постоянна, тогда

;

Методом сечений определим продольные силы на участках

Рис. 3.4.3

Рис. 3.4.4

Тогда ,

Подставляем полученные перемещения в уравнение совместности перемещений

, преобразуем:

или , получили второе уравнение для системы разрешающих уравнений.

4. Синтез: составляем систему разрешающих уравнений

, отсюда , тогда

После определения реакций связей стержень становится статически определимым. Для расчета на прочность построим эпюру продольных сил (рис. 3.4.5, а).

Рис. 3.4.5

На первом участке

- линейная зависимость,

при

Нанесем на эпюру (рис. 3.4.5, а).

На втором участке

Для определения положения опасного сечения построим эпюру нормальных напряжений по длине стержня, сохраняя параметр площади А (рис. 3.4.5, б).

; .

со стороны второго участка

, сохраняет это значение на всем втором участке.

Наибольшее растягивающее напряжение действует на левом торце В

Из условия прочности найдем параметр площадиА:

, откуда мм².

Наибольшие сжимающие напряжения достигаются на границе участков

, тогда .

, откуда мм².

Следует оговориться, зону сжатия можно было не рассматривать, поскольку напряжения в зоне сжатия меньше растягивающих напряжений, а допускаемое на сжатие больше. Параметр площади А выбираем равным: А = 125 мм.

Проверкой решения может служить перемещение сечения с относительно сечения В.

Построим эпюру перемещений:

–параболическая зависимость. Для построения эпюры найдем значения ,

мм,

- линейная функция.

Полученное нулевое перемещение и является проверкой, поскольку правый торец защемлен, его перемещение должно быть нулевым.

Для построения эпюры перемещения еще необходимо определить экстремум, т.е. перемещение точки, в которой ; определим положение стационарной точки:, откуда.

мм.

Построим эпюру перемещений (рис. 3.4.5, в)

Задача 2

Рис. 3.4.6

Жесткий стержень BD поддерживается тягой 1 и стойкой 2.

Вычислить усилия в тяге и стойке и запас стержневой системы, если F = 2 кН, _т = 240 МПа, параметр площади А = 2 см².

Решение

Количество связей, имеющихся в заданной стержневой системе 4, количество уравнений, возможных для заданной стержневой 3, следовательно, степень статической неопределимости m = 1.

Статическая сторона задачи

Рассечем стержни

Рис. 3.4.7

Поскольку для расчета на прочность реакции в шарнире В не нужны, можно воспользоваться последним уравнением. После преобразования получим:

Деформационная сторона задачи:

Рассмотрим перемещения элементов стержневой системы:

Рис. 3.4.8

Точки перемещаются по перпендикуляру к жесткому стержню. Точка С переходит в С₁. Точка K переходит в точку K₁. Предполагается, что стержни перемещаются сохраняя углы, т.е. параллельно своему началь-

ному положению. Опустим из точки K перпендикуляр на новое положение стержня получим отрезок

K₁K₂ = l₁ – удлинение стержня 1,

СС₁ – l₂ – укорочение стержня 2.

В уравнении совместности перемещений необходимо связать удлинения стержней. Из подобия треугольников ВСС₁BKK₁

; , тогда; откудаполучили уравнение совместности перемещений.

Физическая сторона задачи.

По закону Гука ;. Подставим в уравнение совместности перемещений

или 10N₁ = 3N₂.

Синтез.

Система разрешающих уравнений

; ,

откуда N₁ =0,43F, тогда N₂ = 3,330,43F =1,42F.

Найдем напряжения в стержнях

МПа.

Тогда запас стержневой системы

Задача 3

Вертикальная сила F действует на плоский узел с несимметрично расположенными стержнями (рис. 3.4.9). Вычислить усилия в стержнях, считая, что они выполнены из одного материала и имеют одинаковое поперечное сечение.

Рис. 3.4.9

 = 45;  = 30;  = 15.

Стержневая система статически неопределима, со степенью статической неопределимости 1.

1. Статическая сторона задачи:

Рассечем стержни и рассмотрим равновесие узла В.

Рис. 3.4.10

Из двух уравнений невозможно определить три неизвестных силы, рассмотрим деформационную сторону задачи.

2. Деформационная сторона задачи:

Рис. 3.4.11

Пусть после деформации стержни соединены в т. В₁.

Опускаем перпендикуляры на продолжение стержней, тогда - удлинение стержня 1,- удлинение стержня 2,ВВ₄ – укорочение стержня 3.

Отрезок ВВ₁ является общей гипотенузой для всех треугольников, содержащих удлинения стержней.

Обозначим  - угол, который отрезок ВВ₁ составляет с вертикалью, тогда

откуда получим условие совместности перемещений.

Рассмотрим равенство

которое позволяет исключить угол (неизвестный)  из условий совместности деформаций.

разделим на cos

откуда .

Рассмотрим равенство

разделим на cos

По условию задачи  +  = , кроме того подставим найденное значение tg.

;

После громоздких, но несложных преобразований получили уравнение совместности перемещений, которое пока не содержит неизвестных усилий стержней. Введем неизвестные продольные силы в уравнение совместности перемещений.

3. Физическая сторона задачи:

По закону Гука ;;;;;, тогда получим

Составим систему разрешающих уравнений:

4. Синтез

Дальше решение легче проводить в числовых значениях коэффициентов:

или

Решая систему линейных уравнений (например, методом Гаусса), находим

; ;.

Задача 4.

Рис. 3.4.12

Определить допускаемую нагрузку на стержневую систему (рис. 3.4.12).

Стержни стальные [] = 160 МПа,  = 30,  = 45, А = 2 см².

Решение

1. Статическая сторона задачи:

Рассечем стержни и рассмотрим равновесие узлов (рис. 3.4.13).

Рис. 3.4.13

Равновесие узла В.

откуда ,

Равновесие узла С

откуда ,

Два уравнения статического равновесия

содержат 3 неизвестных усилия в стержнях: N₁, N₃, N₄ стержневая система статически неопределима, со степенью статической неопределимости m = 1.

2. Деформационная сторона задачи:

Предположим, под действием силы F 1, 2, 3 стержни растягиваются; 4 и 5 стержни сжимаются.

Рис. 3.4.14

Точка В перейдет в т. В₁, точка С в С₁. Основное допущение: при малых деформациях углы сохраняются. Из т. В опускаем перпендикуляр на новое положение стержня, тогда В₁В₂ – удлинение стержня 1. Из т. С опускаем перпендикуляр на стержень 4, тогда СС₂ – укорочение стержня 4.

Стержень 3 получает удлинение, равное разности СС₁ – ВВ₁ (рис. 3.4.14).

Получили

; ;.

Из треугольника ВВ₁В₂ получаем .

Из треугольника СС₁С₂ получаем .

Уравнение совместности перемещений получаем в виде

3. Физическая сторона задачи:

По закону Гука вводим продольные силы в уравнение совместности перемещений ;;.

Подставим в уравнение совместности перемещений

Умножим на жесткость ЕА, разделим на l

; при заданных углах  = 30 и  = 45,

или .

4. Синтез

Компануем систему разрешающих уравнений

Складывая первое и второе уравнения получаем

Умножаем второе уравнение на 3 и складываем с третьим

, учитывая величины углов, получим:

или

откуда

Для выявления опасного стержня найдем напряжения в стержнях

; ;.

Максимальное напряжение возникает в третьем стержне

по условию прочности

, откуда .

Допускаемая нагрузка: кН.

Задача 5

Рис. 3.4.15

Недеформируемая треугольная пластина удерживается на плоскости стальными стержнями (рис. 3.4.15).

Определить грузоподъемность стержневой системы, если А = 2 см²; [] = 160 МПа; Е = 210⁵ МПа;

l₁ = 0,8 м; l₂ = 0,5 м; к = 0,6.

Решение

Стержневая система статически неопределима, поскольку общее количество неизвестных реакций связей 4 (две реакции в шарнире о и продольные силы в стержнях), а возможных уравнений статического равновесия 3.

1. Статическая сторона задачи:

Рассечем стержни и составим уравнения статического равновесия (рис. 3.4.16)

Рис. 3.4.16

2. Деформационная сторона задачи:

Рис. 3.4.17

При действии силы F жесткий треугольник ОСD поворачивается вокруг точки О на угол  (рис. 3.4.17). Каждая точка перемещается по дуге окружности. При малых деформациях дугу окружности можно заменить перпендикуляром, т.е. ВВ₁ОВ и СС₁ОС. Из подобия треугольников

ОВВ₁  ОСС₁ следует

;

В₁ВВ₂ = 30, тогда ,;

тогда , где,;

откуда, учитывая, что ,,

получаем или

, полученное уравнение является уравнением совместности перемещений.

3. Физическая сторона задачи:

По закону Гука ;

вводим неизвестные усилия в стержнях в уравнение совместности перемещений

или , с учетом величины длин.

4. Синтез

Поскольку с точки зрения расчета на прочность реакции в шарнире О не нужны, преобразуем уравнение момента и составим систему разрешающих уравнений

откуда , тогда,

откуда ,.

Для определения грузоподъемности, т.е. допускаемой нагрузки определим опасный стержень

; .

Большие напряжения возникают в первом стержне , тогда по условию прочности, откудакН.

Максимально допускаемая нагрузка 53 кН.

Задача 6.

Задача 7. Жесткий брус шарнирно прикреплен к фундаменту и удерживается двумя стальными тягами одинакового поперечного сечения.

Рис. 3.5.4

Левая тяга выполнена короче проектного размера на величину  = 0,002l (рис. 3.5.4).

Определить напряжения в тягах после сборки конструкции.

Решение

После сборки конструкции зазор  лишь частично перекрывается удлинением левого стержня, тогда жесткий брус ВС поворачивается в шарнире D, вызывая удлинение правой тяги. В сечениях тяг появляются продольные силы, а в шарнире D две реакции x_D и y_D.

Задача статически неопределима, поскольку для 4 неизвестных усилий существует только 3 уравнения статического равновесия. Решение проводим по стандартной схеме:

1. Статическая сторона задачи.