3.3. Расчет на жесткость стержня постоянного сечения

Выполнить расчет на прочность и жесткость стержня постоянного сечения, представленного на рис. 3.11.

Рис. 3.11

l1 = 0,6 м; l2 = 1,2 м; l3 = 0,8 м; F = 10 кН; q = 20 кН/м; сталь 45; т = 340 МПа.

расчет на жесткость при растяжении состоит в проверке выполнения условия жесткости торцевых сечений. Для рассматриваемого стержня и, где, гдеL – длина, на которой оцениваемое перемещение получено. Перемещение W(z) может быть получено по закону Гука

,

где W₀ – перемещение точки отсчета.

Поэтому найдем функции продольной силы на участках стержневой системы и построим эпюру продольной силы. Причем, переменную длины z выгодно выбирать от начала участка в направлении от неподвижного сечения (защемления). Определим реакцию в защемлении R из уравнения статического равновесия стержня:

, откуда кН.

I участок. Рассечем стержень по сечению i-i и оставим левую часть длиной (l₁-z₁), где .

Рис. 3.12

N1(z1) – продольная сила на первом участке, заменяющая действие отброшенной правой части на оставленную левую (рис. 3.12).

- линейная функция.

значения на концах участка

кН; эпюра (рис. 3.11, а).

II участок. Рассечем стержень по сечению iI-iI и рассмотрим левую часть, координату z₂ возьмем от защемления (рис. 3.13).

Рис. 3.13

N2(z2) = ql1 – R – постоянна на всем втором участке.

N₂ = 200,6 -18 = -6 (кН). эпюра (рис. 3.11, а).

III участок. Рассечем стержень по сечению iII-iII и рассмотрим правую часть (z₃ выберем от начала участка) (рис. 3.14).

Рис. 3.14

. Из уравнения статического равновесия (суммы сил вдоль оси z).

, откуда

–линейная функция.

Значения на концах участка:

(кН); (кН).

Эпюра (рис. 3.11, а).

Стержень должен быть прочным, поэтому сначала назначим площадь поперечного сечения из условия прочности .

Поскольку сечение постоянно, максимальное напряжение достигается в том же сечении, в котором максимальна продольная сила. Для рассматриваемого стержня

,

МПа, откуда мм².

Построим эпюру перемещений.

–

параболическая функция. Точка отсчета неподвижна, поэтому W₀ = 0.

Найдем перемещение левого торца и распорядимся кривизной.

м = 0,5 мм.

Перемещение второго участка.

- линейная функция.

- сечение защемлено.

м = -0,51 мм.

На третьем участке точка отсчета z₃ является концом второго участка, поэтому

,

значения на концах участка W₃(0) = -0,00051 м.

мм.

Уточним вид эпюры перемещений:

Продольная сила является производной функции перемещения по координате длины, следовательно, в точках пересечения эпюрой продольной силы оси (N(z) = 0) перемещение может иметь экстремум, в рассматриваемом случае минимум.

Найдем W_min. Определяя точку экстремума из уравнения , откуда

м.

мм.

Построим эпюру (рис. 3.11, б), учитывая, что на первом участке - функция выпуклая, на третьем- функция вогнутая.

Проверка жесткости:

Левый торец мм.

мм < 0,6 мм – условие жесткости выполняется. правый торец:

мм.

мм < 2 мм – условие жесткости выполняется.

Таким образом, минимальная площадь сечения, обеспечивающая прочность рассмотренного стержня обеспечивает и его жесткость.

Примечание. Если на каком-либо торце условие жесткости не выполняется, необходимо корректировать параметр площади из условия жесткости:

.