Основные этапы расчета

1. Построение эпюры продольной силы.

2. Построение эпюры сравнительных напряжений, определение положения опасного сечения.

3. Определение параметра площади А из расчета на прочность по допускаемым напряжениям.

4. Определение перемещений и построение эпюры перемещений. Проверка жесткости.

3.2.1. Построение эпюры продольных сил

Эпюра продольных сил строится методом сечений. Рассмотрим три участка (рис. 3.7).

Участки выбирают так, чтобы в пределах участка продольная сила описывалась одной функцией или сохраняла постоянное значение.

I участок. Рассечем стержень по сечению I-I и рассмотрим левую часть. За переменную длины z₁ возьмем расстояние от защемления (неподвижного сечения) до сечения 0  z₁  l₁ (рис. 3.8).

Рис. 3.8

Действие отброшенной правой части заменяем действием неизвестной силы N1(z1), направляя ее растягивающей относительно сечения.

N₁(z₁) найдем из уравнения статического равновесия оставленной части:

, откуда

- линейная функция.

Для построения прямой необходимо две точки. Определим значение продольной силы на границах участка.

N₁(0) = F + ql₁ = 10 + 200,6 = 10 + 12 = 22 (кН),

z₁ = 0 соответствует защемлению

N₁(l₁) = F = 10 кН, z₁ = l₁ соответствует левому торцу.

Нанесем полученные значения на эпюру (рис. 3.7, а).

II участок. Рассечем стержень по сечению II-II и рассмотрим левую часть. За z₂ обозначим расстояние от защемления до сечения 0  z₂  l₂ (рис. 3.9).

Рис. 3.9

Продольную силу N2 определим из уравнения статического равновесия оставленной части. N2 – F - ql1 + R = 0, откуда

N₂ = F + ql₁ - R = 10 + 200,6 – 56 = -34 (кН).

Продольная сила на втором участке постоянна сжимающая, равная -34 кН (рис. 3.7, а).

III участок. Рассечем стержень по сечению III-III и рассмотрим правую часть. За z₃ примем длину от начала участка. Длина оставленной части (l₃ – z₃), где 0  z₃  l₃ (рис. 3.10).

Рис. 3.10

Неизвестную продольную силу N3(z3), направленную растягивающей относительно сечения определим из уравнения статического равновесия оставленной части.

F - q(l₃ – z₃) – N₃(z₃) = 0, откуда

- линейная зависимость.

Для построения прямой вычислим значения N₃(z₃) на концах участка

N₃(0) = F - ql₃ = 10 - 201,2 = -14 (кН),

N₃(l₃) = F = 10 кН,

z₃ = 0 соответствует границе II и III участков,

z₃ = l₃ соответствует правому торцу (рис. 3.7, а).

3.2.2. Определение параметра площади поперечного сечения

Для определения параметра площади поперечного сечения А необходимо выявить положение опасного сечения. Опасным является сечение, в котором возникают наибольшие напряжения.

Нормальные напряжения в сечениях растянутого стержня распределяются по площади сечения равномерно и могут быть вычислены: , гдеN(z) – продольная сила в сечении; А(z) – площадь поперечного сечения.

Построим эпюру сравнительных напряжений (сохраняя в знаменателе А).

На первом участке напряжения ;

;

зависимость напряжений от координаты длины линейная. Для построения прямой найдем значения напряжений на границах участка

; .

Аналогично на втором участке, где продольная сила постоянна

.

На третьем участке:

.

Найдем значения на границах участка

;

.

Построим эпюру сравнительных напряжений (рис. 3.7, б).

Опасное сечение в защемлении со стороны первого участка

.

Площадь А найдем из условия прочности

, где - допускаемое напряжение.

, где - опасное для материала напряжение,

n – коэффициент запаса;

если материал пластичный _оп = _т, n = 1,5  2,5,

если материал хрупкий _оп = _в, n = 3  5,

сталь 45 – материал пластичный _оп = _т = 340 МПа;

тогда выбирая коэффициент запаса n = 2, получим допускаемое напряжение МПа.

По условию прочности

, откуда м².

Минимальная площадь, обеспечивающая прочность

А = 129,4 мм²  130 мм².

Построим эпюру истинных напряжений

МПа;

МПа.

МПа.

МПа;

МПа.

По найденным значениям напряжений построим эпюру истинных напряжений (рис. 3.7, в).

Для проверки жесткости нужно вычислить перемещения торцевых сечений: W(l₂ + l₃) и W(l₁). Они не должны превосходить допускаемых перемещений [l] = 0,001L, где L – длина, на которой оцениваемое перемещение получено. Для заданного стержня на левом торце W(l₁)  0,001 l₁, на правом торце W(l₂ + l₃)  0,001(l₂ + l₃).

Перемещение любого сечения можно определить по закону Гука

, где W₀ – перемещение точки отсчета.

Рассмотрим первый участок:

.

Найдем перемещения на концах участка

;

;

W₁(l₁) = 0,00037 м = 0,37 мм.

Зависимость параболическая ;- выпуклая функция (рис. 3.7, г).

Рассмотрим второй участок:

;

Значения на концах участка

;

.

W₂(z) – линейная функция (рис. 3.7, г).

Третий участок:

- функция параболическая,

м,

W₃(l₃) = 0,64 мм,

- парабола вогнутая.

Заметим, что функция продольной силы является производной от функции перемещения.

На третьем участке продольная сила пересекает ось, следовательно, функция перемещения имеет экстремум (минимум). Найдем координату точки экстремума

, откуда м,

мм.

Эпюра перемещений (рис. 3.7, г).

Проверяем жесткость: допускаемое перемещение на левом торце [l₁] = 0,0010,6 = 0,0006 м, перемещение W(l₁) = 0,00037 м < 0,0006 м, условие жесткости выполняется.

На правом торце м.

Полученное перемещение 0,00076 м < 0,002 м, условие жесткости выполняется.