2. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ

2.1. Проектировочный расчет на прочность ступенчатого стержня

Д

Рис. 2.1

ля ступенчатого стержня, представленного на рис. 2.1, не­обходимо построить эпюру крутящих моментов, эпюру условных касательных напряжений как функцию параметра сечения d, из условия прочности найти искомое значение d, в расчетах использовать материал, представленный кривой деформирования, в соответствии с вариантом задания.

2.1.1. Построение эпюры крутящих моментов

Направим вдоль оси стержня ось z (рис. 2.2, а). Запишем условие равновесия стержня AD в виде

Рис. 2.2

Из условия равновесия находим значение T₄:

Для определения внутренних силовых факторов, воспользуемся методом сечений. Разобьем стержень на 3 участка AB, BC и CD, проведем на каждом из них произвольные сечения 1-1, 2-2, 3-3 и зададим координаты этих сечений z₁, z₂, z₃.

Рассмотрим участок АВ (0≤z₁≤l₁=0,4м):

На участке АВ (рис. 2.3, а) крутящий момент

Рассмотрим участок BС (рис. 2.3, б):

Рассчитаем значение крутящего момента в точках В и С. В точке В:

В точке C:

Рассмотрим участок DC (рис. 2.3, в):

В пределах всего участка крутящий момент

П

а	б	в

Рис. 2.3

о полученным данным построим э пюру крутящих моментов (рис. 2.2).

2.1.2.Построение эпюры напряжений

Наибольшие напряжения при кручении возникают на внешних волокнах и определяются как

,

где – полярный момент сопротивления, I_p – полярный момент инерции сечения, r_max – максимальный радиус. Определим геометрические характеристики сечений.

Участок AB

Участок BC

Участок CD

Определим опасное сечение стержня, в котором возникают максимальные напряжения, в долях 1/d³.

Участок АВ :

Участок BC :

Участок CD :

По полученным данным строим Эd³ (рис. 2.2).

1.2.3. Расчет на прочность. Подбор сечения

Из эпюры Эd³ видно, что опасными являются сечение на участке AВ, где действуют наибольшие напряжения

Условие прочности при кручении имеет вид:

где [] – допускаемое касательное напряжение.

Примем для материала ВТ3

Тогда условие прочности примет вид

Из условия прочности находим оптимальное значение диаметра:

Примем (из ряда Ra40 по ГОСТ 6636-86) d=63 мм.

Определим напряжения, действующие в сечениях при выбранном значении d.

Участок АВ:

Участок ВС: .

Участок CD:

По полученным данным строим эпюру действующих на валу касательных напряжений Э (рис. 2.2).

2.2. Расчет на жесткость стержня постоянного сечения.

Д

Рис. 2.4

ля стержня постоянного сечения (рис. 2.4), не­обходимо построить эпюру углов закручивания и из условия жесткости найти искомое значение диаметра стержня d. Материал стержня – сталь, G=80ГПа.

2.2.1. Построение эпюры углов закручивания.

Р

Рис. 2.5

азобьем стержень на участки АВ, ВС и СD (рис. 2.5). В предел ах каждого участка возьмем произвольные сечения z₁, z₂ и z₃ соответственно.

На участке АВ :

На участке ВС :

На участке СD :

Находим углы закручивания в долях . На участке АВ:

Так как , ввиду наличия заделки в точке А, то Окончательно получаем, в точке А и в точке B

Функцией угла закручивания на участке АВ является парабола, вторая производная от которой положительна, следовательно, парабола вогнутая.

На участке ВС:

Находим угол поворота в точке С

На участке CD:

Находим угол поворота в точке D

По полученным значениям строим эпюру углов закручивания Э в долях от GI_p (рис. 2.5).

2.2.1. Расчет на жесткость.

По условию жесткости, максимальный угол поворота не должен превышать допускаемый , т.е. Из эпюры углов поворота, построенной в долях от GI_p, видно, что максимальный угол поворота находится в сечении С Полярный момент сечения откуда найдем диаметр стержня:

Примем (из ряда Ra40 по ГОСТ 6636-86) d=200 мм.

Окончательно рассчитывая углы поворота в каждом сечении, получаем и