примеры решения задач для ТМ,ОД,СП / Часть1для ТМ,ОД,СП

ВВЕДЕНИЕ

Сопротивление материалов является одной из важнейших инженерных дисциплин, изучаемых в высшей школе. Основываясь на выводах теоретической механики, физики и используя математический аппарат, а также данные лабораторных исследований, сопротивление материалов, решает важнейшие вопросы прочностной надежности конструкций (прочности, жесткости, устойчивости, и долговечности).

Инженеру любой специальности часто приходится производить расчеты прочностной надежности отдельных элементов конструкций (сооружений и машин). Неправильный расчет самой незначительной на первый взгляд детали может повлечь за собой самые тяжелые последствия – привести к разрушению конструкции в целом. Для оценки прочностной надежности необходимо стремиться к сочетанию надежности работы конструкции с ее дешевизной, добиваться наибольшей прочности при наименьшем расходе материала.

Для усвоения теоретического материала, приобретения навыков проведения инженерных расчетов, учебным планом предусмотрено выполнение расчетно-графических и курсовых работ, которые охватывают наиболее важные разделы дисциплины.

Общие методические указания

Освоение дисциплины сопротивления материалов, как одной из сложных дисциплин, изучаемых в высших учебных заведениях, должно обязательно сопровождаться составлением конспекта и решением задач. Следует научиться делать выводы формул. При этом особое внимание обращать на физическую сущность явления и на те допущения и ограничения, которые делаются в процессе выводов. «Знание выводов без сведения о способах в их достижения может легко привести к заблуждению не только в философской, но и практической стороне наук, потому что тогда неизбежно необходимо придавать абсолютное значение тому, что нередко относительно и временно» (М.И. Менделеев). Также необходимо хорошо разбираться и в чертежах, которыми сопровождаются выводы формул. «Раз усвоенные геометрические образы, рисующие картину рассматриваемого явления, надолго западают в голову и живут в воображении изучающего», – говорил отец русской авиации Н.Е Жуковский.

Если при решении задач возникнут затруднения, следует воспользоваться имеющимися в задачниках и другой методической литературе указаниями к решениям, но совершенно необходимо научиться решать задачи самостоятельно.

После изучения каждой темы надо обязательно ответить на вопросы для самопроверки. Это способствует лучшему усвоению пройденного материала. До сдачи зачета или экзамена необходимо выполнить контрольные и курсовые работы, а также и пройти лабораторный практикум. Перед каждой лабораторной работой преподаватели делают необходимые пояснения. В лаборатории студент обязан детально ознакомиться с образцами, испытательными машинами, измерительными приборами, при проведении опыта сделать соответствующие записи в отчетах и обработать результаты наблюдений.

Л и т е р а т у р а

Основная.

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учебник для ВТУЗов. - М.: Наука, 2003, –592 с. (а также предыдущие издания).

2. Сборник задач по сопротивлению материалов./ Под ред. Вольмира А.С., - М.: Наука, 1984.

3 .Сборник задач по сопротивлению материалов./ Под ред. Качурина В.К.., - М.: Физматгиз,1972

Дополнительная

4. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов, - М.: Изд. МАИ, 1997,. 412 с.

5. Сопротивление материалов. /Под ред. Писаренко Г.С. -Киев.: Вища школа, 1986, 775 с..

6 Пособие к решению задач по сопротивлению материалов. /Под ред. Ицковича .

7. Сборник задач по сопротивлению материалов. /Под ред. Уманского Р.А. – М.: Наука, 1974, 496 с.

8. Мавлютов Р.Р., Куликов В.С., Мардимасова Т.Н. Основы расчета напряжений и деформаций в элементах конструкций. Учебное пособие. – Уфа: УГАТУ,1997– 84 с.

9. Жернаков В.С., Куликов В.С., Мардимасова Т.Н. Расчет валов на статическую, усталостную прочность и жесткость. Учебное пособие.– Уфа: УГАТУ, 2003 – 76 с.

10. Зыкин П.Т., Куликов В.С., Мардимасова Т.Н. Расчет стержней и

стержневых систем на прочность и жесткость при статическом нагружении. Методические указания к выполнению курсовой работы. – Уфа: УАИ, 1991 – 61 с.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ТЕМАМ КУРСА

Т е м а 1. Основные понятия

Литература: []Феодосьев В.И., Введение; []Биргер И.А., Мавлютов Р.Р., ……

В этой теме даны основные понятия, которые необходимо хорошо усвоить. Особое внимание надо обратить на понятие деформаций и напряжений. Для определения напряжений пользуются методом сечений. Сущность его заключается в том, что твердое тело, находящееся в равновесии, мысленно разрезают на две части, отбрасывают одну из частей, заменяют влияние отброшенной части внутренними силовыми факторами и составляют уравнение равновесия для оставшейся части, на которую действуют приложенные к ней внешние и внутренние силы, распределенные по сделанному сечению.

Вопросы для самопроверки:

1. Какие деформации называют упругими?

2. Какие деформации называют остаточными (пластическими)?

3. Что называется напряжением в точке в данном сечении?

4. Какие напряжения называются нормальными?

5. Какие напряжения называются касательными?

6. В чем заключается сущность метода сечений?

Т е м а 2. Растяжение и сжатие

Литература: []Феодосьев В.И. , гл. 1; []Сб. задач, гл.1, задачи № 1, 3, 16, 19, 20, 26, 30 ,37, 38, 55, 59, 99, 80, 84, 88, 93, 102, 118.

В этой теме рассмотрены простые случаи воздействия сил на стержень и рассмотрен ряд вопросов, встречающихся в других разделах курса (механические свойства материалов, выбор допускаемых напряжений, статически неопределимые задачи).

Необходимо обратить внимание на то, что механические характеристики материала (пределы пропорциональности, упругости, текучести, прочности) путем деления соответствующей нагрузки на первоначальную площадь поперечного сечения. Таким образом, получают условные напряжения. Для вычисления истинных напряжений надо делить соответствующие нагрузки на действительную площадь поперечного сечения, которая изменяется при опыте. Зная величины истинных напряжений, можно построить так называемую истинную диаграмму растяжения, которая точнее характеризует свойства материала, чем условная диаграмма. Пользуясь формулами, основанными на законе Гука, надо всегда помнить, что этот закон справедлив только до предела пропорциональности. Нельзя, например, напряжение для мягкой стали при  = 0,1 вычислять по формуле , так как тогда получается, что = 20000 МПа, в то время как при 400 МПа материал уже разрушается.

При решении статически неопределимых задач следует обратить внимание на то, что усилия в стержнях статически неопределимой системы зависят от площадей поперечных сечений А и от модулей упругости первого рода Е, тогда как в статически определимой системе величины А и Е не влияют на распределение усилий.

Способ расчета по допускаемым нагрузкам для статически определимых систем дает такие же результаты, как и способ расчета по допускаемым напряжениям, но для статически неопределимых систем он позволяет вскрыть дополнительные резервы прочности, повысить несущую способность конструкции и указывает на возможности более экономного расходования материала.

Следует обратить внимание на весьма важные понятия: предел прочности, допускаемое напряжение и коэффициент запаса прочности, который иногда называют просто запасом прочности.

После второй темы можно решать задачи 1-3 , включенные в контрольные работы.

Вопросы для самопроверки

1. Как строится диаграмма растяжения?

2. Что называется пределом пропорциональности?

3. Что называется пределом упругости?

4. Что называется пределом физическим пределом текучести?

5. Что называется пределом прочности?

6. Что называется истинным пределом прочности?

7. Как формулируется закон Гука?

8. Что называется модулем упругости первого рода (модулем Юнга)?

9. Что называется коэффициентом поперечной деформации (коэффициентом Пуассона)?

10. Как найти работу растягивающей силы по диаграмме растяжения?

11. Что называется удельной работой деформации?

12. Что называется истинным пределом прочности?

13. В чем заключается разница между пластичными и хрупкими материалами?

14. От каких факторов зависит величина запаса прочности?

15. Какие задачи называются статически неопределимыми?

16. Каков общий порядок решения статически неопределимых задач?

17. Как находятся напряжения при изменении температуры?

Т е м а 3. Сдвиг

Литература: []Феодосьев В.И. , гл. 1; []Сб. задач, гл.1, задачи № 1, 3, 16, 19, 20, 26, 30 ,37, 38, 55, 59, 99, 80, 84, 88, 93, 102, 118

Касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны между собой и направлены к ребру или от него. Этот закон носит название закона парности касательных напряжений. При изучении деформации необходимо обратить внимание на то, что одна из диагоналей элемента, на гранях которого действуют касательные напряжения, удлиняется, другая – укорачивается. Таким образом, деформации растяжения-сжатия и сдвига нельзя рассматривать изолированно друг от друга.

Формула закона Гука при сдвиге легко запомнить ввиду полной аналогии с законом Гука при растяжении–сжатии . Необходимо внимательно изучить вопрос о выборе допускаемых напряжений при сдвиге.

Следует обратить внимание на то, что расчёты заклёпок, сварных соединений и врубок являются условными и что явление «среза» всегда осложнено наличием других напряжений, которыми для упрощения расчётов обычно пренебрегают. Надо уметь показывать на чертежах площадки, на которых возникают напряжения среза, смятия, скалывания.

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется абсолютным и относительным сдвигом?

2. Как формулируется закон Гука при сдвиге?

3. Какой модуль упругости больше E или G?

4. Как находится условная площадь смятия заклепки?

5. По какому сечению в заклепочном соединении?

Т е м а 4. Кручение

Литература: []Феодосьев В.И. , гл. 1; []Сб. задач, гл.1, задачи № 1, 3, 16, 19, 20, 26, 30 ,37, 38, 55, 59, 99, 80, 84, 88, 93, 102, 118.

В случае центрального растяжения–сжатия нормальные напряжения распределяются в поперечном сечении стержня равномерно. При расчете на срез обычно считают, что касательные напряжения также распределяются равномерно. В случае кручения круглого стержня касательные напряжения в поперечном сечении распределяются неравномерно, изменяясь по линейному закону – от нуля на оси до максимального значения у поверхности. В связи с этим и возникла мысль о замене сплошного вала полым, материал сечения которого находится в более напряженной зоне и используется рациональнее.

Следует внимательно разобрать построение эпюры крутящих моментов ЭТ, которая наглядно показывает изменение величины крутящего момента по длине вала. При вычислении напряжений в произвольном поперечном сечении вала необходимо брать по эпюре ЭТ значение соответствующей ординаты.

Надо обратить внимание на то, как используется закон парности касательных напряжений для установления направлений τ в точках контура прямоугольного поперечного сечения стержня. Наибольшие напряжения в таком сечении возникают в точках контура, ближе всего расположенного к оси кручения

После изучения этой темы можно решать задачи 5 и 6 , включенные в контрольные работы.

Вопросы для самопроверки:

1. Какие напряжения возникают в стержне круглого поперечного сечения при кручении?

2. Как находят их величину в произвольной точке поперечного сечения?

3. Возникают ли нормальные напряжения при кручении7

4. Чему равен полярный момент инерции круглого сечения?

5. Что называется полярным моментом сопротивления при кручении? В каких единицах от измеряется?

6. Чему равен полярный момент инерции кольцевого сечения? Почему нельзя сказать, что он равен разности полярных моментов сопротивления наружного и внутреннего кругов?

7. Как вычисляют момент, передаваемый шкивом, по мощности и числу оборотов?

8. Как находят угол закручивания?

9. Как производят расчет вала на прочность и жесткость?

10. Как находят максимальные напряжения при кручении стержня прямоугольного поперечного сечения?

11. дллололо

12. рпорпорп

Т е м а 5. Геометрические характеристики плоских сечений

Литература: []Феодосьев В.И. , гл. 1; []Сб. задач, гл.5, задачи № 1, 4, 5, 8, 9, 11, 16, 20, 25.

В теории изгиба важную роль играют моменты инерции, поэтому следует рассмотреть этот вопрос предварительно в виде самостоятельной темы. Перед изучением этой темы полезно повторить по учебнику теоретической механики материал о статическом моменте и нахождении центров тяжести плоских фигур. При вычислении моментов инерции надо помнить, что в системе координат XY они представляют собой интегралы типа , , (осевой или экваториальный момент относительно оси Y и X соответственно) или (центробе1жный момент инерции относительно осей XY).

Необходимо запомнить, что теорема о параллельном переносе осей () справедлива только в том случае, если ось Y проходит через центр тяжести фигуры (a – расстояние между осями Y и Y₁ ). Если, например, известен момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через основание, то по теореме о переносе осей нельзя сразу найти момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через вершину треугольника. Сначала нужно найти по этой теореме момент инерции относительно параллельной центральной оси, а затем определить момент инерции относительно оси, проходящей через вершину. Формула переноса наглядно показывает, что наименьшим их моментов инерций относительно параллельных осей является момент инерции относительно центральной оси.

Из бесконечного множества центральных осевых моментов инерции экстремальными являются моменты инерции относительно главных центральных осей U и V. Главными осями называются оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. При этом совсем необязательно, чтобы главные оси проходили через центр тяжести, так как через любую точку, лежащую в плоскости фигуры можно провести такие две взаимно перпендикулярные сои, относительно которых центробежный момент инерции будет равен нулю. В теории изгиба весьма важную роль играют главные центральные оси, положение которых для несимметричных сечений определяется так:

1. Делят сложную фигуру на ряд простых, В произвольной системе координат вычисляют статические моменты инерций относительно этих осей и находят положение центра тяжести сечения C.

2. Проводят через центр тяжести всего сечения параллельно выбранным осям произвольные центральные оси x и y. При помощи теоремы о параллельном переносе осей находят центробежный момент и осевые моменты инерции сечения относительно центральных осей и .

3. Определяют положение главных осей по формуле .

4. Находят величины главных центральных моментов J_U и J_V.

Для проверки правильности вычисления и можно использовать равенства , .

Следует иметь в виду, что при помощи этих равенств можно проверить правильность вычисления положения главных осей (п.3) и значений главных центральных моментов и (п.4); соблюдение этих равенств, однако, не гарантирует правильности вычислений, сделанных в пп.1 и 2.

Если сечение состоит из ряда прокатных профилей, то при вычислениях необходимо пользоваться данными таблиц сортамента. При определении центробежного момента инерции равнобокого или неравнобокого уголка можно сначала найти центробежный момент инерции относительно собственных центральных осей, параллельных полкам, при помощи формулы

,

где и – главные центральные моменты инерции, величины которых даны в таблицах сортамента. После этого надо применить формулу переноса осей и найти центробежный момент инерции уголка относительно центральный осей всего сечения.

При пользовании формулой поворота осей надо обязательно обратить внимание на знак угла . Если для совмещения оси X₀ с осью X надо повернуть ось X₀ по часовой стрелке, то угол следует считать отрицательным.

После изучения этой темы можно решать задачу 7 , включенную в контрольные работы.

Вопросы для самопроверки:

1. По каким формулам находят координаты центра тяжести плоской фигуры?

2. Чему равна сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей?

3. Какие оси называются главными?

4. Для каких фигур можно без вычислений установить положение главных центральных осей?

5. Относительно каких центральных осей осевые моменты инерции имеют наибольшее и наименьшее значения?

6. Какой их двух осевых моментов инерции треугольника больше: относительно оси, проходящей через основание, или относительно оси, проходящей через вершину параллельно основанию?

7. Какой их двух осевых моментов инерции квадратного сечения больше: относительно центральной оси, проходящей параллельно сторонам, или относительно оси, проходящей через диагональ?

8. Какой их двух главных центральных моментов инерции полукруглого сечения больше: относительно оси, параллельной диаметру, или относительно перпендикулярной оси?

Т е м а 6. Теория напряженного состояния тела в точке и теории прочности

Литература: []Феодосьев В.И. , гл. 7 и 8; []Сб. задач, гл.2, задачи № 1, 7, 11, 16, 28, 35, 36].

Главные напряжения играют весьма важную роль при решении вопроса о прочности материала. Одно из этих напряжений является наибольшим, а другое – наименьшим из всех нормальных напряжений для данной точки.

Надо обратить внимание на полную аналогию между формулами для напряжений в наклонных площадках и формулами для осевых моментов инерции относительно осей, наклоненных к главным. В этих формулах главные напряжения соответствуют главным осевым моментам инерции Напряжениям в площадках, наклонных к главным площадкам под углом , соответствуют осевые моменты инерции относительно осей, наклоненных к главным под углом . Касательным напряжениям соответствует центробежный момент инерции. Аналогию можно продолжить дальше:

Теория напряженного состояния тела в точке	Геометрические характеристики плоских сечений
Касательные напряжения на главных площадках равны нулю	Центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю
Одно из главных напряжениё является максимальным, другое – минимальным	Один из главных осевых моментов инерции является максимальным, другой – минимальным
Угол наклона главных площадок находится по формуле	Угол наклона главных осей находится по формуле

При линейном напряженном состоянии вопрос о прочности материала решается легко. Надо определить предельное _пред (опасное) напряжение из опыта на растяжение (или сжатие), назначить коэффициента запаса n и сравнить главное напряжение ₁ (или ₃) с допускаемым напряжением

.

В случае плоского или объемного напряженного состояния задача значительно усложняется, так как неизвестно, при какой комбинации числовых значений главных напряжений наступает предельное (опасное) состояние материала. Необходимо, следовательно, найти напряжение, зависящее от главных напряжений, при котором возникает опасность разрушения, и затем числовое его значение сравнить с допускаемым напряжением, установленным из опыта на растяжение (или сжатие). В зависимости от того, какой фактор по данной теории прочности считается решающим и создающим опасное состояние материал, получим различные расчетные формулы.

После изучения этой темы можно решать задачу 4, включенную в контрольные работы.

Вопросы для самопроверки:

1. Какие имеются виды напряженного состояния тела в точке?

2. В чем заключается закон парности касательных напряжений ?

3. Чему равна сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам?

4. По каким площадкам действуют наибольшие и наименьшие напряжения?

5. Как производится графическое построение для определения напряжений в наклонных площадках в случае плоского напряженного состояния?

6. Как при помощи этого построения находятся главные напряжения?

7. Чему равно наибольшее касательное напряжение в случае плоского напряженного состояния?

8. Как находятся максимальные напряжения в случае объемного напряженного состояния?

9. Как находятся деформации при плоском и объемном напряженном состояниях?

10. Как формулируется первая теория прочности?

11. Как находится расчетное (эквивалентное) напряжение по второй теории прочности?

12. Зависит ли расчетное (эквивалентное) напряжение по третьей теории прочности от величины ₂?

13. Чему равна удельная работы деформации при объемном напряженном состоянии?

14. Какая часть потенциальной энергии деформации учитывается при составлении расчетного уравнения по четвертой теории прочности?

15. Как находится расчетное (эквивалентное) напряжение по теории Мора?

Т е м а 7. Изгиб стержней

Литература: []Феодосьев В.И. , гл. 4 ; []Сб. задач, гл.6, задачи № 1, 5, 16, 20, 23, 31, 39, 42, 44, 47, 57, 67, 78, 87; гл.7, задачи № 1, 3, 5, 6, 7, 11, 17, 19, 28, 40, 58, 59, 70; гл.8, задачи № 1, 23, 24; гл.9, задачи № 4, 6, 9].

Эта тема является самой большой и самой сложной темой курса сопротивления материалов, Ее следует изучать постепенно, обращая внимание на решение задач. Сначала надо усвоить весьма важные понятия внутренних силовых факторов, возникающих при изгибе стержней, изгибающего момента М_x и поперечной (перерезывающей силы) Q_y и научиться достаточно быстро строить их эпюры (графики изменения по длине стержня).

Необходимо помнить, что в соответствии с методом сечений в произвольном поперечном сечении z стержня поперечная сила равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения на перпендикуляр к оси стержня. А изгибающий момент в данном сечении равен алгебраической сумме моментов внешних силовых факторов, расположенных только с одной стороны, относительно главной центральной оси поперечного сечения. В связи с этим при определении М_x и Q_y можно рассматривать в равновесии любую из двух образовавшихся частей в зависимости от того, где проще получить выражения для М_x и Q_y.

Для проверки правильности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов нужно использовать дифференциальные зависимости, устанавливающие зависимость между Q_y и М_x (теорема Журавского).

Необходимо обратить внимание на неравномерность распределения нормальных напряжений  по высоте поперечного сечения стержней и на то, что прочность балки зависит от величины осевого момента сопротивления W. Надо ясно представлять, каким путем можно увеличить осевой момент сопротивления без увеличения расхода материала.

Рекомендуется сравнивать между собой эпюры нормальных  и касательных τ напряжений, построенные для стержней прямоугольного поперечного сечения. Нормальные наибольшие и наименьшие напряжения (главные напряжения) находятся по формуле