алгоритмы / Struktury

{}. добавляется в список.

Замечание: прохождение не единственное. В зависимости от порядка добавления смежных вершин в стек, можно получить разную последовательность вершин.

Оба вида поиска в графе могут быть использованы для нахождения пути между фиксированными вершинами и . Для этого достаточно начать поиск в графе с вершины и вести его до момента посещения вершины . Преимуществом поиска в глубину является тот факт, что в момент посещения вершины стек содержит последовательность вершин, определяющую путь из в . Это становится очевидным, если отметить, что каждая вершина, помещаемая в стек, является соседом верхнего элемента стека. Недостатком поиска в глубину является то, что полученный таким образом путь в общем случае не будет кратчайшим путем из в . От этого недостатка свободен метод нахождения пути, основанный на поиске в ширину. Для этого надо модифицировать процедуру, добавив в строки вложения :

. По окончанию модифицированной таким образом процедуры таблица содержит для каждой вершины её предыдущую вершину.

Анализ сложности алгоритмов поиска в глубину и в ширину.

В описанных алгоритмах поиска посещение каждой вершины требует времени вычисления ( ). Каждую вершину вне списка мы помещаем в стек. Требуется, чтобы каждая вершина была посещена. Аналогично и с поиском в глубину. При добавлении вершины в список обработанных вершин для обнаружения смежных с ней вершин проверяется строка матрицы смежности. Каждая строка – ( ), следовательно, общее время вычислений равно ( ) ( ) ( ). Число сравнений в случае матричного представления графа не зависит от количества ребер в графе. Даже если граф является разреженным, мы обязаны провести сравнений для каждой вершины.

При списковом представлении графа быстродействие алгоритма зависит от реберной плотности графа. В лучшем случае ребер нет и длина каждого списка равна . Тогда время вычисления для каждо-

Эйлеров граф.

Долгое время существовала задача о семи кенигсбергских мостах. Эйлер показал, что карту можно свести к виду графа, и решил эту задачу с отрицательным ответом.

Эйлер, решая задачу о семи мостах, открыл следующие свойства графов: число нечетных вершин связанных графов всегда четно, невозможно начертить граф с нечетным числом нечетных вершин. Если все вершины графа четные, то можно одним росчерком, то есть, не отрывая карандаша от бумаги и проводя по каждому ребру ровно один раз начертить граф. При этом движение можно начинать с любой вершины графа и закончить её там же. Граф только с двумя нечетными вершинами можно начертить одним росчерком, при этом движение нужно начать в одной из этих вершин, а закончить его в другой такой вершине. Граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

Поскольку число нечетных вершин графа задачи о семи местах равно 4, то такой граф невозможно пройти по всем семи мостам, побывав на каждом из них только по одному разу и не проходя при этом одного пути дважды.

Эйлеровым путем в графе называют путь, проходящий через каждое ребро графа в точности в один

обходу всех ребер графа, причем каждое ребро при таком обходе проходится точно один раз и только в одном направлении. Графы, в которых существует эйлеров цикл, называются эйлеровыми графами.

Эйлер представил необходимое и достаточное условие существования эйлерова пути. Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда когда граф связный и содержит не более чем две вершины нечетной степени.

Если в связном графе нет вершин в нечетной степени, то каждой эйлеров путь является циклом.

Алгоритм нахождения Эйлерова Цикла

Вход – связный граф без вершин нечетной степени представленный списком инцидентности, про-

межуточные данные – стек , выходные данные – содержащий эйлеров цикл.

( )

}

}

}

Принципы действия алгоритма можно объяснить следующим образом: пусть начальная вершина. Тогда цикл начинает строить путь с началом в , причем вершины этого пути помещаются в промежуточный стек, а ребра удаляются из графа, эти действия продолжаются вплоть до того момента, когда путь нельзя удлинить включив в него новую вершину, то есть когда .

щий, а очередной вершиной становится верхний элемент стека. Процесс повторяется, начиная с этой

инцидентные с этой вершине представлены в одном из циклов. Поэтому по окончанию алгоритма содержит эйлеров цикл.

Пример Эйлерова Графа:

графа, либо переносит вершину из промежуточного стека в результирующий. Таким образом, число

Основными задачами нахождения остовных деревьев графа является:

1)нахождение остовного дерева (для её решения можно использовать алгоритм поиска в ширину и

вглубину)

2)нахождение минимального и максимального остовного дерева.

Рассмотрим 2 алгоритма нахождения остовного дерева минимальной стоимости, при этом стоимость остовного дерева определяется как сумма стоимостей его рёбер.

Наиболее простым алгоритмом поиска остовного дерева минимального веса является алгоритм Прима, который заключается в следующем:

Алгоритм Дейкстры для нахождения кратчайшего пути

Среди десятков алгоритмов для отыскания кратчайшего пути, одним из лучших является алгоритм Дейкстры (по сути совпадает с алгоритмом Примы) и позволяет находить в графе кратчайший путь между выделенными вершинами и при положительных длинах дуг.

В процессе работы алгоритма вершинам графа приписываются метки, которые подразделяются на