
информатика_1 / лекции / 2-10. -------------
.pdfМоделирование как основной метод решения задач на компьютере
Понятие модели и моделирования
Будем понимать под моделью другой объект (реальный, знаковый или воображаемый), отличный от исходного, который обладает существенными для целей моделирования свойствами и в рамках этих целей полностью заменяет исходный объект.
Моделирование — процесс построения формальной модели реального явления и ее использование в целях исследования моделируемого явления.
При моделировании свойства одного объекта переносятся на другой таким образом, чтобы качественные и количественные свойства модели и объекта были бы подобными или эквивалентными. Для этого в теории моделирования была специально разработана теория подобия. При моделировании изучение свойств объекта заменяется исследованием свойств его модели, что существенно облегчает, а в ряде случаев делает принципиально возможным проведение данного исследования. Отметим, что на компьютере можно моделировать как мыслительные процессы, происходящие при решении математических задач, построении логических выводов и рассуждений, так и физические процессы, протекающие в реальных объектах.
Любой объект можно рассматривать как систему, состоящую из взаимосвязанных частей (более простых объектов) и существующую как единое целое. Всякая система имеет структуру, то есть внутреннюю организацию. Свойства системы зависят не только от ее состава но и от ее структуры. Создавая модель системы, исследователь «познает» систему, т.е. выделяет ее как объект изучения из окружающей среды и строит ее формальное описание в соответствии с поставленными целями, задачами и имеющимися возможностями. В дальнейшем он анализирует систему через поведение модели, ее свойства, состояния, возможные изменения, разрешенные и запрещенные формы существования и т.п. Таким образом, моделирование – это процесс построения модели объекта и исследования его свойств путем исследования модели.
Физическое и математическое моделирование
На практике применяют различные методы моделирования. В зависимости от способа реализации, все модели можно разделить на два больших класса: физические и математические.
Сущность физического моделирования состоит в изучении прототипа посредством анализа некоторого макета, сохраняющего физическую природу объекта. Физическое моделирование применяется в тех случаях когда исчерпывающе точного математического описания прототипа на данном уровне развития науки не существует или такое описание слишком громоздко и требует для расчётов большого объёма исходных данных, получение которых затруднительно, а также когда воспроизведение исследуемого физического явления в целях эксперимента в реальных масштабах невозможно, нежелательно, или слишком дорогостояще.
Некоторые примеры применения метода физического моделирования:
исследование течений газов и обтекания летательных аппаратов и автомобилей в аэродинамических трубах;
гидродинамические исследования на уменьшенных моделях кораблей и гидротехнических сооружений;
исследование сейсмоустойчивости зданий и сооружений на этапе проектирования;
изучение устойчивости сложных конструкций, под воздействием сложных силовых нагрузок;
измерение тепловых потоков и рассеивания тепла в устройствах и системах, работающих в условиях больших тепловых нагрузок;
изучение стихийных явлений и их последствий.
Однако модели физического типа имеют ограниченную сферу применения. Не для всяких явлений и объектов могут быть построены физические аналоги. Достаточно указать на организационнотехнические системы, производственные процессы и т.п.
Сущность математического моделирования состоит в том, что различные изучаемые явления могут иметь одинаковое математическое описание. Известным примером служит описание одними и теми же уравнениями электрического колебательного контура и пружинного маятника. Теория математического модели-рования обеспечивает выявление закономерностей протекания различных явлений окружающего мира или работы систем и устройств путем их математического описания и моделирования без проведения натурных испытаний. При этом используются положения и законы

математики, описывающие моделируемые явления, системы или устройства на некотором уровне их идеализации.
Математическая модель представляет собой формализованное описание системы на некотором абстрактном языке. Например, в виде совокупности ма-тематических соотношений или схемы алгоритма, т. е. такое математическое описание, которое обеспечивает имитацию работы систем или устройств на уровне, достаточно близком к их реальному поведению, получаемому при натурных испытаниях систем или устройств. Любая математическая модель описывает реальный объект, явление или процесс с некоторой степенью приближения к действительности. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования.
Целью математического моделирования является анализ реальных процессов (в природе или технике) математическими методами. В свою очередь, это требует формализации математической модели процесса, подлежащего исследованию. Модель может представлять собой математическое выражение, содержащее переменные, поведение которых аналогично поведению реальной системы.
Существуют следующие методы математического моделирования для исследования характеристик систем: аналитическое, имитационное и комбинированное. В свою очередь, математические модели делятся на имитационные и аналитические.
Аналитическое моделирование
Для аналитического моделирования характерно, что процессы функционирования системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений).
Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:
аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для характеристик систем;
численным, когда не удается найти решение уравнений в общем виде и их решают для конкретных начальных данных;
качественным, когда при отсутствии решения находят некоторые его свойства. Аналитические модели удается получить только для сравнительно простых систем. При построении сложных систем могут возникнуть существенные проблемы математического характера. Для применения аналитического метода идут на существенное упрощение первоначальной модели. Однако исследование на упрощенной модели помогает получить лишь ориентировочные результаты. Аналитические модели математически верно отражают связь между входными и выходными переменными и параметрами. Но их структура не отражает внутреннее строение объекта.
Нахождение решений при аналитическом моделировании оказывается важным для выявления общих теоретических закономерностей. Однако сложность решения резко возрастает по мере усложнения воздействий на модель и увеличения порядка и числа уравнений состояния, описывающих моделируемый объект. Тем не менее, многие современные системы компьютерной математики, например, системы символьной математики Maple, Mathematica или среда MATLAB, способны в значительной мере автоматизировать решение сложных задач аналитического моделирования.
Одной из разновидностей аналитического моделирования является численное моделирование, которое заключается в получении необходимых количественных данных о поведении систем или устройств каким-либо подходящим численным методом.
Имитационное моделирование
Математические модели строят на основе законов и закономерностей, выявленных фундаментальными науками: физикой, химией, экономикой, биологией. В конечном счете ту или иную математическую модель выбирают на основе критерия практики, понимаемого в широком смысле. После того как она сформулирована, необходимо исследовать ее поведение. С усложнением анализируемых объектов использование для этой цели аналитических методов возможно лишь в частных случаях. Выход состоит в переходе к компьютерным реализациям математических моделей. При этом на компьютер возлагается как работа по воспроизведению динамики изучаемой модели, так и по проведению экспериментов с ней.
При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени. Имитируются элементарные явления составляющие процесс с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени.
Основным преимуществом имитационных моделей по сравнению с аналитическими является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют легко учитывать наличие дискретных или непрерывных элементов, нелинейные характеристики, случайные воздействия и др. Поэтому этот метод широко применяется на этапе проектирования сложных систем. Основным средством реализации имитационного моделирования служит компьютер, позволяющий осуществлять цифровое моделирование систем и сигналов.
В связи с этим определим словосочетание «компьютерное моделирование», которое все чаще используется в литературе. Будем полагать, что компьютерное моделирование — это математическое моделирование с использованием средств вычислительной техники.
Соответственно, технология компьютерного моделирования предполагает выполнение следующих действий:
определение цели моделирования;
разработка концептуальной модели;
формализация модели;
программная реализация модели;
планирование модельных экспериментов;
реализация плана эксперимента;
анализ и интерпретация результатов моделирования.
Содержание первых двух этапов практически не зависит от математического метода, положенного в основу моделирования (и даже наоборот — их ре-зультат определяет выбор метода). А вот реализация остальных пяти этапов существенно различается для аналитического и имитационного моделирования. При имитационном моделировании используемая математическая модель воспроизводит алгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды. Примером простейшей аналитической модели может служить уравнение прямолинейного равномерного движения. При исследовании такого процесса с помощью имитационной модели должно быть реализовано наблюдение за изменением пройденного пути с течением времени.
Имитационные модели не только по свойствам, но и по структуре соответствуют моделируемому объекту. При этом имеется однозначное и явное соответствие между процессами, получаемыми на модели, и процессами, протекающими на объекте. Недостатком имитационного моделирования является большое время решения задачи для получения хорошей точности.
Результаты имитационного моделирования работы стохастической системы являются реализациями случайных величин или процессов. Поэтому для нахождения характеристик системы требуется многократное повторение компьютерных экспериментов и последующая обработка данных. Чаще всего в этом случае применяется разновидность имитационного моделирования — статистическое моделирование (или метод Монте-Карло), т.е. воспроизведение в моделях случайных факторов, событий, величин, процессов.
По результатам статистического моделирования определяют оценки вероятностных критериев качества, общих и частных, характеризующих функционирование и эффективность управляемой системы. Статистическое моделирование широко применяется для решения научных и прикладных задач в
различных областях науки и техники. Методы статистического моделирования широко применяются при исследовании сложных динамических систем, оценке их функционирования и эффективности. Заключительный этап статистического моделирования основан на математической обработке полученных результатов при которой используются методы математической статистики (параметрическое и непараметрическое оценивание, проверку гипотез).
Результаты вычислительных экспериментов могут влиять на вид модели лишь после завершения серии прогонов ее на компьютере. Например, если в процессе эксперимента выяснится, что выходные результаты слабо зависят от того или иного параметра, то это может послужить причиной упрощения модели, состоящего в исключении данного параметра и соответствующем уменьшении размерности. В процессе исследования систем часто приходится модель уточнять, варьировать, упрощать ее или, наоборот, усложнять. Ясно, что если каждый раз при этом приходится составлять новые программы, то процесс моделирования не будет эффективным. Требуемую гибкость можно обеспечить, если использовать формальные схемы, описывающие классы моделей из определенной предметной области, поскольку программировать тогда нужно функционирование данной схемы, а не описываемой ею частной модели.
Процесс построения моделей должен быть тесно увязан с организацией вычислительных экспериментов в целях получения дополнительных знаний о системе, которые нельзя получить из натурных экспериментов, так как последние или невозможны, или слишком дороги. Поскольку на этапе построения модели получены определенные знания о ее структуре и характере поведения, естественно использовать их на этапе экспериментирования.
Типы задач, решаемых путем моделирования
Первой и наиболее распространенной задачей, решаемой с помощью моделей (путем моделирования) является описание изучаемого объекта на некотором формальном языке. Полученные таким образом модели в теории систем принято называть структурными или дескриптивными (описательными)
моделями.
Другой, тесно связанной с первой, задачей (или назначением) моделей и моделирования является получение с их помощью свойств и характеристик моделируемого объекта. Получение данных показателей осуществляется на основе моделей функционирования объектов, которые в теории систем получили название функциональных или структурно-функциональных моделей.
Компьютерная модель
В основе компьютерных моделей лежат алгоритмы и правила представления и обработки на компьютере.
С помощью компьютерных моделей можно:
исследовать сложные объекты и системы, (организационно-технические, социально-экономические, производственные и др.), когда невозможно с помощью строгих математических моделей описать и исследовать работу данных объектов и систем;
решать научно-исследовательские и поисковые задачи, задачи автоматизированного проектирования;
решать задачи управления объектами в реальном масштабе времени;
решать задачи планирования и прогнозирования и др.
Общая методика составления описательной модели
1)Определяются и формально описываются две группы значимых для решения задачи величин, связанных причинно-следственными отношениями. В первую группу входят величины x, рассматриваемые в качестве причин или факторов. Во вторую группу входят величины y, выступающие в качестве следствий действия величин, входящих в первую группу.
2)Определяется формальное или математическое описание зависимости. Наиболее распространенным математическим инструментом, используемым для описания зависимостей между переменными х и у, являются функции и уравнения.

x y f(x)
причина следствие
Графическое представление функциональной зависимости
Основные этапы построения компьютерных моделей
Решение большинства практических задач на компьютере в общем случае производится в три этапа.
1.На первом этапе на основе словесного описания решаемой задачи производится ее формальное описание.
2.На втором этапе с помощью средств математики и информатики осуществляется построение функциональной модели объекта, включающее
всебя:
-построение модели решения задачи, записанной на одном из алгоритмических языков или языков программирования;
-реализация процесса решение задачи на компьютере;
-определение количественных и качественных характеристик решения.
3.На третьем этапе производится создание информационной модели предметной области.
Основные виды системных моделей предметных областей
Структурный подход и структурные модели систем
Подходы к изучению систем и виды системных моделей предметных областей
Структурно- |
|
Функциональный |
функциональный |
|
подход и |
подход и |
|
функциональные |
структурно- |
|
модели систем |
функциональные |
|
|
модели систем |
|
|
|
|
|

Структурно-функциональный подход
Данный подход предполагает наличие причинно-следственных связей между структурой системы и ее функциями. При этом в качестве причины (активного начала) могут выступать как функции (свойства) системы, так и ее структура.
Причинно-следственная связь между структурой и функциями системы
Пример функциональной модели предметной области
Пример информационной модели предметной области
