Добавил:
lukovyeKoltsa
до поступления в лэти я 11 лет играл в подкидного на фофаны, а потом...
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:5 семестрик / ртцс2
.pdf
11
5. Колебание с однотональной угловой модуляцией.
Выведем формулу разложения в ряд Фурье колебания с однотональной
угловой модуляцией:
𝐴
cos
(
𝜔
𝑡 + 𝛽 sin
(
Ω𝑡 + 𝜓
)
+ 𝜑
)
, при 𝛽 ≪ 1; 𝜓 =0; 𝜑
= 0
𝐴
cos
(
𝜔
𝑡 + 𝛽 sin
(
Ω𝑡
))
=𝐴
(
cos
(
𝜔
𝑡
)
cos
(
𝛽 sin
(
Ω𝑡
))
− sin
(
𝜔
𝑡
)
sin
(
𝛽 sin
(
Ω𝑡
)))
=
=
{
cos
(
𝛽 sin
(
Ω𝑡
))
= 1;sin
(
𝛽 sin
(
Ω𝑡
))
= 𝛽 sin
(
Ω𝑡
)
}
= 𝐴
cos
(
𝜔
𝑡
)
− 𝐴
𝛽 sin
(
𝜔
𝑡
)
sin
(
Ω𝑡
)
=
= 𝐴
cos
(
𝜔
𝑡
)
− 𝐴
𝛽
cos
(
𝜔
𝑡 − Ω𝑡
)
2
−
cos
(
𝜔
𝑡 + Ω𝑡
)
2
=
= 𝐴
cos
(
𝜔
𝑡
)
+
𝐴
𝛽
2
cos
(
(𝜔
+ Ω)𝑡
)
+
𝐴
𝛽
2
cos
(
(𝜔
− Ω)𝑡 + 𝜋
)
Разложение в ряд Фурье колебания с однотональной угловой модуляцией:
𝑠
(
𝑡
)
=
𝐴
cos
(
𝜔
𝑡
)
+
𝐴
𝛽
2
cos
(
𝜔
+
Ω
)
𝑡
+
𝐴
𝛽
2
cos
(
(
𝜔
−
Ω
)
𝑡
+
𝜋
)
,
где
𝐴
=
30
(10)
а) Разложение в ряд Фурье для колебания с однотональной угловой
модуляцией 𝛽=0,2, которое синтезировалось в работе:
𝑠
(
𝑡
)
=
30
cos
(
𝜋
2
𝑡
)
+
3
cos
𝜋
2
+
0
𝑡
+
3
cos
(
𝜋
2
−
0
𝑡
+
𝜋
)
(11)
Конечный результат синтеза колебания с однотональной угловой
модуляцией 𝛽=0,2 для трёх гармоник:
Рисунок 32. Результат синтеза колебаний с
однотональной угловой модуляцией β=0,2
для 3 гармоник.
Рисунок 33. График колебаний с
однотональной угловой модуляцией β=0,2
для 3 гармоник.
Графики амплитудного и фазового спектров колебания с однотональной
угловой модуляцией представлены на рис. 34 и 35 соответственно.
12
Рисунок 34. График амплитудного спектра.
Рисунок 35. График фазового спектра.
б) Разложение в ряд Фурье для колебания с однотональной угловой
модуляцией 𝛽=3, которое синтезировалось в работе:
𝑠
(
𝑡
)
=
30
cos
(
𝜋
2
𝑡
)
+
45
cos
𝜋
2
+
0
𝑡
+
45
cos
(
𝜋
2
−
0
𝑡
+
𝜋
)
(12)
Конечный результат синтеза колебания с однотональной угловой
модуляцией 𝛽=3 для трёх гармоник:
Рисунок 36. Результат синтеза колебаний с
однотональной угловой модуляцией β=3 для
3 гармоник.
Рисунок 37. График колебаний с
однотональной угловой модуляцией β=3
для 3 гармоник.
Графики амплитудного и фазового спектров колебания с однотональной
угловой модуляцией представлены на рис. 34 и 35 соответственно.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Время, t (с)
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Сигнал с однотональной угловой модуляцией, = 3
13
Рисунок 38. График амплитудного спектра.
Рисунок 39. График фазового спектра.
6. Периодическая последовательность δ-функций.
Разложение в ряд Фурье периодической последовательности δ-функций:
𝑠
~
(
𝑡
)
~
cos
2
𝜋
𝑇
𝑛
𝑡
(16)
Разложение в ряд Фурье для периодической последовательности δ-
функций, которая синтезировалась в данной работе:
𝑠
(
𝑡
)
=
5
cos
(
𝜔
𝑡
)
+
5
cos
(
𝜔
𝑡
)
+
5
cos
(
𝜔
𝑡
)
+
+
5
cos
(
𝜔
𝑡
)
+
5
cos
(
𝜔
𝑡
)
+
5
cos
(
𝜔
𝑡
)
+
+5 cos
(
𝜔
𝑡
)
+ 5 cos
(
𝜔
𝑡
)
+ 5 cos
(
𝜔
𝑡
)
+
+
5
cos
(
𝜔
𝑡
)
+
5
cos
(
𝜔
𝑡
)
+
5
cos
(
𝜔
𝑡
)
(17)
Конечный результат синтеза периодической последовательности δ-
функций:
14
Рисунок 40. Результат синтеза
периодической последовательности δ-
функций.
Рисунок 41. График периодической
последовательности δ-функций.
Графики амплитудного и фазового спектров периодической
последовательности δ-функций представлены на рис. 42 и 43 соответственно.
Рисунок 42. График амплитудного спектра.
Рисунок 43. График фазового спектра.
Вывод: в ходе выполнения лабораторной работы был проведён
гармонический синтез различных периодических сигналов с использованием
ограниченного числа (12) гармонических составляющих. В процессе работы
были успешно синтезированы основные типы сигналов: меандр,
пилообразный, треугольный, амплитудно-модулированный (АМ), угловой
модуляции (УМ) и последовательность δ-функций. На практике подтверждены
теоретические положения о спектральном составе сигналов: меандр и
треугольный сигнал содержат только нечётные гармоники, причём у
треугольного сигнала амплитуды гармоник убывают быстрее, что объясняется
его гладкостью; пилообразный сигнал содержит все гармоники, а его ряд
Фурье записывается через синусы. Для АМ-сигнала показано разложение на
15
несущую и две боковые гармоники, а также продемонстрировано влияние
коэффициента модуляции m на глубину модуляции. Для УМ-сигнала при
малом индексе модуляции (β=0,2) получено приближённое разложение,
аналогичное АМ, но с дополнительным фазовым сдвигом одной из боковых
составляющих. При большем значении β=3 наблюдаются особенности,
связанные с нелинейностью угловой модуляции. Синтез последовательности
δ-функций подтвердил, что все гармоники складываются синфазно в точках
следования импульсов. Работа показала, что даже при использовании
ограниченного числа гармоник можно с удовлетворительной точностью
аппроксимировать сложные периодические сигналы, а также визуализировать
их амплитудные и фазовые спектры.
Соседние файлы в папке 5 семестрик