Лабораторная работа № 1

Определение моментов инерции твердых тел методом трифилярного подвеса

1.1 Цели и задачи работы

Целью работы является:

• Ознакомление студентов с методами измерения момента инерции тела.

Задачей работы является:

• Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел.

• Проверка теоремы Штейнера.

1.2. Теоретическая часть

1.2.1. Момент инерции, теорема Штейнера

Моментом инерции материальной точки относительно оси называют произведение массы этой точкиm на квадрат ее расстояния до оси

.

Моментом инерции системыматериальных точек относительно оси называют сумму моментов инерции материальных точек системы

. (1.1)

Представляя тело состоящим из сколько угодно малых частей объемом dV и массы dm, его момент инерции можно рассчитать как

, (1.2)

где r - расстояние от элемента тела объемом dV до оси, относительно которой рассчитывается момент инерции.

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Так как dm =  dV, где  - плотность тела в данной области dV, то формулу (1.2) можно записать в виде

.

Если тело однородно, т.е. =const, то

.

Наиболее просто определяются моменты инерции тел правильной геометрической формы с равномерным распределением массы по объему. Рассчитаем, например, момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) массой m и радиусом R относительно оси симметрии. Это тело можно мысленно разбить на тонкие цилиндрические слои, частицы которых находятся на одинаковом расстоянии от оси. Цилиндр радиуса разобьем на концентрические слои толщиной(рис. 1).

Рис. 1

Пусть радиус какого-то слоя , тогда масса частиц, заключенных в этом слое, будет

,

где - высота цилиндра,- плотность вещества цилиндра.

Все частицы слоя будут находиться на расстоянии от оси, следовательно, момент инерции этого слоя будет

.

Тогда момент инерции всего цилиндра

.

Поскольку масса цилиндра , то получим, что момент инерции равен

(1.3)

Из (1.3) следует, что момент инерции сплошного однородного цилиндра зависит только от его массы и радиуса и не зависит от высоты. Поэтому формула (1.3) применима для расчета момента инерции сплошного однородного диска относительно оси симметрии.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции тела относительно любой параллельной оси можно определить, воспользовавшись теоремой Штейнера:

момент инерции I тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы телаm на квадрат расстояния а между осями

. (1.4)

Момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела при вращательном движении (мерой инертности тела при поступательном движении является масса) и зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси. Тело обладает определенным моментом инерции относительно любой оси независимо от того, вращается оно или находится в покое.