Добавил:
swidjer
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ЛЕКЦИЯ 7
.pdf
КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ В
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
1. Установившиеся и переходные колебания
Установившиеся (стационарные) колебания — режим, при котором все токи и
напряжения в цепи являются постоянными величинами (режим постоянного тока)
или периодическими функциями времени f(t) = f(t+T), где T — период колебания.
Переходные (неустановившиеся) колебания — процесс перехода цепи от одного
установившегося режима к другому. Этот процесс обусловлен коммутацией —
внезапным включением, переключением или изменением параметров воздействия.
2. Законы коммутации и начальные условия
В режиме переходных колебаний происходит изменение запасенной в цепи энергии
электрического и магнитного полей. Энергия не может измениться мгновенно, так
как это потребовало бы источника бесконечной мощности (P = dW/dt). Запасенная
энергия описывается уравнением:
W = Σ [ Lk · ik2(t) / 2 ] + Σ [ Cl · ul2(t) / 2 ]
На основании этого сформулированы два закона коммутации:
1. Для индуктивности: Ток в любой индуктивности является непрерывной
функцией времени и не может изменяться скачком. Начальное условие: iL(0+)
= iL(0-)
2. Для емкости: Напряжение на любой емкости является непрерывной функцией
времени и не может изменяться скачком. Начальное условие: uC(0+) = uC(0-)
Примечание: напряжения на резисторах и индуктивностях, а также токи через
конденсаторы могут изменяться скачкообразно.
Пример
3. Классический метод расчета
Метод основан на составлении системы уравнений по законам Кирхгофа и сведении
её к одному линейному дифференциальному уравнению n-го порядка с
постоянными коэффициентами:
dnf(t)/dtn + an-1 · dn-1f(t)/dtn-1 + ... + a1 · df(t)/dt + a0 · f(t) = f0(t)
Полное решение уравнения f(t) ищется в виде суммы двух составляющих: f(t) = fсв(t)
+ fвын(t)
● fсв(t) (Свободная составляющая): Общее решение однородного уравнения (при
f0(t)=0). Обусловлена свойствами самой цепи и начальным запасом энергии.
Имеет вид: fсв(t) = Σ Ak · epk · t, где pk — корни характеристического
уравнения, Ak — постоянные интегрирования. Со временем стремится к нулю.
● fвын(t) (Вынужденная составляющая): Частное решение неоднородного
уравнения. Определяется как установившееся значение переменной в цепи
после коммутации при t → ∞.
4. Свободные колебания в цепях первого порядка (RC и RL контуры)
В цепях с одним реактивным элементом вынужденная составляющая равна нулю
(источники отключены). Дифференциальные уравнения имеют первый порядок.
Параметр
Последовательный RL-
контур
Последовательный RC-
контур
Дифференциальное
уравнение
L · diL(t)/dt + R · iL(t) = 0
R · C · duC(t)/dt + uC(t) = 0
Характеристическое
уравнение
L · p + R = 0
Корень: p1 = -R / L
R · C · p + 1 = 0
Корень: p1 = -1 / (R · C)
Постоянная времени (τ)
τ = L / R
τ = R · C
Закон изменения
(решение)
iL(t) = (U0 / 2R) · e-t/τ
uL(t) = -(U0 / 2) · e-t/τ
uC(t) = U0 · e-t/τ
iC(t) = -(U0 / R) · e-t/τ
Длительность переходного процесса практически завершается за время t = (4...5)τ,
когда свободная составляющая уменьшается до 2% от начального значения.
5. Переходные колебания при ступенчатом воздействии
Рассматривается подключение источника постоянного напряжения U0 к контурам с
нулевыми начальными условиями.
● Для RL-контура:
Дифференциальное уравнение: L · diL(t)/dt + iL(t) · R = U0
Вынужденный ток в установившемся режиме: iвын = U0 / R
Полное решение для тока: iL(t) = (U0 / R) · (1 - e-t/τ)
Напряжение на катушке: uL(t) = L · diL(t)/dt = U0 · e-t/τ
● Для RC-контура:
Дифференциальное уравнение: R · C · duC(t)/dt + uC(t) = U0
Вынужденное напряжение: uвын = U0
Полное решение для напряжения: uC(t) = U0 · (1 - e-t/τ)
Ток через емкость: iC(t) = C · duC(t)/dt = (U0 / R) · e-t/τ
6. Свободные колебания в последовательном RLC-контуре
Цепь содержит два реактивных элемента (L и C), поэтому описывается
дифференциальным уравнением второго порядка:
L · C · d2uC(t)/dt2 + R · C · duC(t)/dt + uC(t) = 0
Характеристическое уравнение:
p2 + (R/L) · p + 1/(LC) = 0, или p2 + 2δp + ω02 = 0
Где введены ключевые параметры контура:
● δ = R / (2L) — коэффициент затухания;
● ω0 = 1 / √(LC) — резонансная частота контура;
● ρ = √(L/C) — характеристическое сопротивление;
● Q = ρ / R — добротность контура.
Корни характеристического уравнения определяют режим колебаний: p1,2 = -δ ±
√(δ2 - ω02)
Режимы переходного процесса в RLC-контуре
Режим
Условие
Корни уравнения
(p1, p2)
Уравнение
напряжения uC(t)
Апериодический
(контур с
большими
потерями)
δ > ω0
R > 2ρ
Q < 0.5
Вещественные,
отрицательные,
неравные:
p1,2 = -α1, -α2
Апериодический
разряд от U0 до
нуля без смены
знака:
uC(t) = A1 · e-α1t +
A2 · e-α2t
Колебательный
(контур с малыми
потерями)
δ < ω0
R < 2ρ
Q > 0.5
Комплексно-
сопряженные с
отрицательной
вещественной
частью:
p1,2 = -δ ± j·ωсв
где ωсв = √(ω02 -
δ2)
Затухающие
гармонические
колебания:
uC(t) = (U0 / cos
Ψ1) · e-δt · cos(ωсвt
+ Ψ1)
Критический
(граничный
случай)
δ = ω0
R = 2ρ
Q = 0.5
Вещественные,
отрицательные,
равные:
p1 = p2 = -δ
Самый быстрый
апериодический
спад переменных к
нулю:
uC(t) = U0 · e-δt · (1
+ δt)
Апериодический
Колебательный
Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники