6.2. Марковская модель взаимодействия станций
Определим NTU, как ожидаемое число станций в состоянии TUi; N' – ожидаемое число станций в состоянии TU'i; NRQ – ожидаемое число станций в состоянии RQi; NPR – ожидаемое число станций в состоянии PRi и NTR – ожидаемое число станций в состоянии передачи. Система может быть представлена как цепь Маркова с пространственным вектором состояний:
(36)
Эта система является сложной с точки зрения использования методов анализа Маркова, потому что пространство состояний очень большое. Поэтому рассмотрим систему анализа равновесных точек EPA.
В EPA принято считать, что система всегда функционирует, находясь в точке равновесия. Это является приближением, поскольку на самом деле система движется в окружности этой точки по фазовой траектории. В самой точке равновесия системы ожидаемый рост количества станций в любом состоянии равен нулю, [22]. Таким образом, ожидаемое число станций, входящих в каждое состояние, должно быть равным числу станций, выходящих их каждого состояния в каждом тайм-слоте.
Записывая уравнение течения времени (далее: уравнение течения) для каждого состояния, мы получим систему из Ku уравнений с Ku неизвестными, где Ku – это количество состояний. Кроме этого уравнения течения могут быть записаны из условия, что ожидаемое (расчетное) количество станций в каждом состоянии выражено через ожидаемое (расчетное) количество станций в состоянии TUi. Таким образом, если мы решим систему из NTU уравнений, то мы получим решение для всей системы [22].
Уравнения течения запишем относительно переменных, соответствующих средним значениям величин (тех же величин, которые выше были применены для обозначения случайных переменных):
для
(37)
82
(38)
(39)
(40)
(41)
Далее запишем аналогичные уравнения относительно неизвестных переменных NTU и M. Напомним, что M – это вероятность того, что запрос будет обнаружен сканирующей станцией, или то же самое, что другая станция находится в состояниях с RQR+1 по RQR+, и что запрос был предназначен сканирующей станции. То есть, справедливо:
(42)
Подставляем формулы (39) и (40) в формулу (42) и упрощаем получившееся выражение:
(43)
Количество переходов в активное состояние из состояния запроса должно равняться количеству переходов в активное состояние из состояния PR. Это связано с тем, что станция может начать отправку посылки только в том случае, если имеется другая станция, которая примет передачу. Это приводит к следующему уравнению:
(44)
Последнее после подстановки в него выражений (38) и (40) упрощается к виду:
(45)
В стационарном состоянии сумма количеств станций во всех состояниях равна общему числу станций в системе, то есть:
(46)
(47)
или
Выражения (44), (45) и (47) могут быть решены совместно для переменных r, M, и TU`, которые могут быть использованы в дальнейшем, чтобы обеспечить решение для стационарного состояния всей системы.
Наибольший интерес представляют пропускная способность телекоммуникационной системы (throughput), задержка в обслуживании (delay) и вероятность истечения времени ожидания (timeout probability). Нормированная пропускная способность определяется как ожидаемая доля станций в активном состоянии (что является также используемой долей полосы пропускания):
(48)
Задержка в обслуживании определяется как интервал времени от прибытия сообщения в систему до тех пор, пока сообщение не будет окончательно передано. Она состоит из времени, необходимого на перестройку на канал станции назначения, задержек распространения сигналов запроса и подтверждения о приёме, и времени на пересылку самого сообщения. Задержка измеряется в тайм-слотах и имеет вид:
(49)
Вероятность истечения времени ожидания определяется как вероятность того, что после перехода станции в режим запроса истечет интервал ожидания, то есть:
(50)
84
Интерес представляет также вероятность блокирования системы (blocking probability), то есть вероятность того, что поступление вызова оказалось заблокированным. Вероятность блокирования равна вероятности того, что станция не находится в режиме сканирования, и определяется по формуле:
(51)