3.2. Характеристики случайных сигналов электросвязи

Случайные сигналы занимают доминирующее положение в технике многоканальной электросвязи. Голосовые, телевизионные, телеграфные и др. сигналы можно рассматривать как случайные. К случайным сигналам относятся различные помехи, ухудшающие верность воспроизведения передаваемых сигналов, внутренние шумы

аппаратуры связи и др.

В отличие от детерминированных процессов значения случайных сигналов в каждом опыте предопределить невозможно, но, тем не менее, с математической точки зрения модели случайных процессов можно представить случайными функциями .

Вид наблюдаемой функции ξ(t) в одном опыте (испытании), как правило, не случаен. Вид функции ξ(t) в одном опыте называют реализацией случайной функции, которую можно рассматривать как детерминированную. Для анализа ξ(t) необходимо иметь множество реализаций. Например, на рисунке 3.7 случайный процесс ξ(t) представлен тремя реализациями . Совокупность

Рис. 3.7. Графическое представление случайной функции

всех возможных реализаций образует случайный процесс (или случайную функцию). Количество реализацийможет быть конечным и бесконечным, а также несчётным (когда невозможно посчитать отдельные реализации). В случае бесконечного и несчётного множества реализаций случайную функциюизобразить практически невозможно, и тем более, представить в аналитической форме. В этом случае для установления закономерностей в случайных процессах удобно пользоваться их регулярными характеристиками.

3.2.1. Статистические (вероятностные) характеристики. На графике множества реализаций случайной функции произвольно возьмём фиксированный момент времени. Сечениев точкеобразует случайную величину, для которой известно лишь возможное множество её значений, но заранее неизвестно, какое значение она примет в момент. На рисунке 3.7 случайная величинаимеет три дискретных значения, которые отмечены кружками.

Каждому значению случайной величиныможно поставить вероятность. Значениеявляется мерой возможности появления события=. Иначе говоря,определяет статистическую оценку частоты появления события, т.е. количество исходов события (например,=), приходящихся на достаточно большое число наблюдений за случайным процессомв точке. Величинуизмеряют в диапазонеи она не имеет физической размерности.

Дискретное множество образует распределение вероятностей случайной величины, при этом. В таком случаеявляется дискретной случайной величиной,

В общем случае множество не всегда является конечным и счётным, что особенно характерно при вероятностном описании непрерывных случайных процессов. Тогда привероятностьдля каждой точки=стремится к нулю и это создаёт неудобство её применения. В этом случае для изучения статистических свойств непрерывной случайной величинывводят «интервальную» вероятность, т.е. частоту исходов событий, когда значения случайной величины срезаограничены участком, гдепроизвольная точка на числовой оси(см. рисунок 3.7).

Важной статистической характеристикой случайной величины является интегральная функция распределения (ИФР) , определяющая вероятность того, что случайная величина в момент временине превзойдет некоторое наперёд заданное значение. ИФР можно рассматривать как обобщениена полубесконечный интервал распределения, т.е.

.

Если интервал разбить на участки вида, то ИФР можно представить также в виде суммы «интервальных» вероятностей по каждому участку

.

Последнее выражение указывает, что ИФР «собирает», суммирует вероятности на участках разбиения. Отсюда и пришло название «интегральный» в слове ИФР. Из области определения вероятности и (3.17), следуют свойства ИФР:

1. ИФР неубывающая функция;

2. . Свойство означает, что распределение случайной величины на бесконечно большом (или на всём) интервале разбиения есть достоверное событие.

3) . Свойство означает, что вероятность случайной величины непрерывного процесса на бесконечно малом интервале разбиения равна нулю.

4) . Свойство позволяет вычислить вероятность распределения случайной величины на ограниченном участкес помощью ИФР.

В прикладных задачах вместо ИФР часто пользуются плотностью вероятности (ПВ) . ИФР и ПВ связаны зависимостью

, .

Типовые графики ИФР и ПВ приведены на рисунке 3.8. Следует отметить, что ПВ подчиняется условию нормировки ,

Для описания статистической связи между различными временными срезами случайного процесса вводят многомерные ИФР и ПВ. Так, для двух временных срезов (рисунок 3.7) можно рассмотреть двумерную ИФР, которая определяет совместную вероятность того, что случайные величиныи

Рис. 3.8. Типовые графики ИФР и ПВ

в моменты времени ине превысят соответственно значенияи, т.е.

.

Двумерная ПВ будет определяться в виде

.

Законы распределения случайных процессов, представляющие собой некоторые функции, достаточно полно описывают эти случайные процессы с вероятностной точки зрения. Однако на практике не всегда существует необходимость характеризовать случайные сигналы полностью. Зачастую достаточно бывает указать только наиболее существенные черты случайных процессов в компактной форме с помощью минимального числа числовых параметров (характеристик).

3.2.2. Числовые (моментные) характеристики. Изучение числовых характеристик случайных процессов в общем случае производят для случайных величин в соответствующих временных срезах.

К наиболее важным числовым характеристикам, применяемым в технике электросвязи, можно отнести математическое ожидание , дисперсиюи корреляционную функцию. Математическое ожидание, дисперсию называют также моментами соответственно первого и второго порядков, а корреляционную функциюсмешанным моментом второго порядка.

Математическое ожидание указывает на некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все «остальные» значения случайной величины. Оно измеряется в тех же физических единицах, что и случайный процесс. Для дискретной (заданной на множестве) и непрерывной случайной величиныматематическое ожидание вычисляется соответственно по формулам

, (3.18)

,

где знак математического ожидания. Случайная величина. являющаяся отклонениемот математического ожидания, называется центрированной. Математическое ожиданиеравно нулю.

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания. Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины. Для дискретной и непрерывной случайной величины дисперсия будет вычисляться соответственно

,

.

Значение дисперсии центрированной случайной величины пропорциональна её средней мощности. Для оценки амплитуды рассевания случайной величины вводят понятие стандартного или среднеквадратического отклонения СКО.

Знание математического ожидания и дисперсии бывает недостаточным при изучении случайных процессов, так как они не отражают изменчивость случайного сигнала во времени. С целью изучения степени разбросанности случайного процесса между сечениями в точках и(см. рисунок 3.7) вводят функцию корреляции. Для дискретной и непрерывной случайных величин для вычисления соответствующих функций корреляции используют выражения

(3.19)

Для дискретной случайной величины в точке считается, чтоидвумерная вероятность, характеризующая статистическую частоту между значениямив соответствующих временных срезах случайного процесса. Значение функции корреляции при совпадении точекиравно дисперсии, т.е..

Если математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени (), то говорят, что случайные процессы являются стационарными (в широком смысле). Для стационарных процессов функция корреляциизависит от только разности (временного интервала) между точками наблюдения, но не зависит от выбора точки, т.е.

.

При этом .

Для описания стационарных центрированных случайных процессов с корреляционными функциями используются спектральные характеристики, в частности, спектральная плотность мощности. Согласно теореме А.Я. Хинчина и Н. Винера между паройисуществует пара преобразования Фурье, аналогичных (3.7) и (3.8), т.е.

. (3.20)

. (3.21)

Спектральная плотность мощности случайного центрированного сигнала является вещественной функцией. На самом деле, пользуясь формулами Эйлера выражение (3.20) запишем в виде

. (3.22)

Последнее равенство получено из нечётности подынтегральной функции второго слагаемого и . Если положить, что стационарный случайных сигнал характеризуется средней мощностьюи, то из (3.21) следует

. (3.23)

Выражение (3.23) раскрывает смысл понятия спектральной плотности мощности. Спектральная плотность мощности отражает закон распределения плотности дисперсии сигнала по частоте, Если дисперсия измеряется в [Вт], то согласно (3.23) единицей измерения спектральной плотности мощности могут выступать .

Получим корреляционную функцию для случайного синхронного последовательного телеграфного сигнала . Пусть сигналпринимает в дискретные моменты времени(время передачи одного бита) значенияс вероятностью 0,5 независимо от того, какое значение он имел на предыдущем участке. При этом реализации цифрового сигналаимеют случайный равномерно распределенный временной сдвиготносительно начала наблюдения.

Выберем в качестве момента наблюдения начало координат, осциллограмма (реализация) последовательного случайного цифрового сигнала будет иметь вид как на рисунке 3.9.

Рис. 3.9. Последовательный телеграфный сигнал

Интервал времени , определяющий точку изменения знака случайного процесса, распределен по условию задачи равномерно в промежутке(рисунок 3.10,а).

а б

Рис.3.10. Плотность вероятности (а) и вероятность (б)

изменения значения процесса

Найдем вначале математическое ожидание и дисперсиюслучайного процесса. Так как «1» и «0» передаются с одинаковой вероятностью и длительностью, то

,

.

Математическое ожидание и дисперсия телеграфного сигнала не зависит от времени и длительностипередачи бита (при условии, что длительностьодинакова для нуля и единицы). Данный случайный процесс является центрированным и стационарным. Для стационарного случайного процесса функция корреляциибудет зависеть от сдвигамежду срезами наблюдения и не зависит от начальной точки наблюдения. Для удобства выберем начало наблюдения в точке начала координат, т.е..

Из рисунка 3.9 видно, что для среза в точке изменение значения (смена знака) реализации телеграфного сигналане происходит (). В точке срезапроисходит смена знака (). Следовательно, вероятность изменения значения случайного процессазависит от выбора переменной. Очевидно, что функция плотности вероятностисмены знакапри выборебудет определяться, т.е.(см. рисунок 3.10,а).

Найдём вероятность . По существу, гдеслучайная величина, определяющей временной интервал смены знака телеграфного сигнала (знак «*» вводится с целью различения случайной величиныот переменной). Интегрируя по интервально функцию распределения на рисунке 3.10,а и учитывая свойства интегральной функции распределения, получим:

График приведён на рисунке 3.10,б.

Корреляционная функция случайного телеграфного сигнала(рисунок 3.11,а)

(3.24)

так как из вида рассматриваемого процесса следует, что сечения для значений параметра , отличающихся на величину большую, чем, независимы, а привероятность того, значение процессане изменится, равна.

а б