применение ЭВМ в энергетике / Для ЭЭС-303сф (Прим ЭВМ в ЭЭ)(копия) / Пример решения КР

Выполнение задания 10

Критерий Михайлова является частотным критерием устойчивости. В его основу положен принцип аргумента, известный из теории функций комплексного переменного. Рассмотрим использование частотного критерия Михайлова для анализа устойчивости простейшей ЭЭС, рассмотренной в предыдущих разделах.

Исходя из вида характеристического уравнения задания 9, запишем характеристический многочлен Д(р):

Д(р) a0 p3 a1 p2 a2 p a3 4066,3 p3 4451,5 p2 62,01 p 0,432

Осуществляя подстановку р = јω, получим характеристический вектор Д(јω)

Д( j ) 4066,3 ( j )3 4451,5 ( j )2 62,01 ( j ) 0,432

Разделим вещественную и мнимую составляющую вектора, т.е.

Д( j ) U( ) j V( ) ,

где U( ) 0,432 4451,5 2 ; V( ) 62,01 4066,3 3.

Вектор Д(јω) изображенный в декартовых координатах на плоскости, при изменении 0 < ω < + ∞, вращается, и конец вектора описывает кривую, которая называется годографом характеристического уравнения.

Практическая формулировка критерия Михайлова: система будет устойчива,

если при возрастании ω от 0 до + ∞ годограф, начинаясь на положительной части вещественной оси, проходит последовательно в положенном направлении n квадратов, где n – степень характеристического уравнения.

Такое перемещение годографа соответствует повороту вектора Д(јω) на угол 0,5·π·n. Для построения годографа определим точки пересечения с вещественной U и мнимой V осями:

а) пересечение годографа с осью U проходит при V( ) 0

V( ) (62,01 4066,3 2) 0

21

Выбираются только положительные значения корней, т.к. ω изменяется от 0 до ∞. Для построения графика зададимся рядом значений 0≤ω<∞ и рассмотрим соответствующие значения U(ω) и V(ω):

Построим годограф данного характеристического уравнения:

Рисунок 3

На основании данного графика система по критерию Михайлова устойчива, т.к. кривая годографа пересекает три квадранта и степень характеристического уравнения тоже три.

22