применение ЭВМ в энергетике / Для ЭЭС-303сф (Прим ЭВМ в ЭЭ)(копия) / Пример решения КР

Запишем матрицы режимных параметров: а) матрица задающих токов:

б) матрица узловых напряжений U , матрица падений напряжений UB:

Матрица ЭДС в ветвях EB, матрица контурных ЭДС EK:

Выполнение задания 2

Первый закон Кирхгофа.

Матричная форма записи позволяет представить баланс токов для всех узлов схемы одновременно.

M·I = J

где, М – матрица инциденций первого рода; I – матрица неизвестных токов в ветвях; J – матрица задающих токов.

Матричная форма:

Второй закон Кирхгофа.

Матричная форма записи позволяет записать баланс напряжений для всех независимых контуров схем:

N·ZB·I = EK,

где EK = N·ЕB. Тогда

N·ZB·I = N·ЕB.

отсюда

3

4

Выполнение задания 3

Обобщенное уравнение состояния имеет вид: A·I = F, где единая матрица коэффициентов имеет вид:

,

объединенная матрица исходных параметров имеет вид:

Тогда обобщенное уравнение состояния в матричной форме имеет вид:

Система алгебраических уравнений относительно неизвестных токов в ветвях:

I1 I2 3

I2 I3 I4 I5 5I3 I6 I7 4I5 I6 8

I7 6

0,5 I1 0,3 I2 0,4 I4 EB2

0,6 I3 0,9 I5 0,7 I6 EB5

5

Выполнение задания 4

4.1. Определяем матрицу узловых проводимостей Y∆:

Y∆ = M·YB·Mt

где MT – транспонированная матрица М:

(Транспонированная матрица - это матрица, полученная из исходной путем замены строк на столбцы)

Находим произведение M·YB:

6

4.2. Составим матрицу Y∆ без перемножения матриц, с учетом физического смысла ее элементов. На главной диагонали расположены собственные проводимости узлов YB – равные сумме проводимостей ветвей, соединенных с узлом i:

Симметрично относительно главной диагонали расположены взаимные проводимости Yij = Yji, которые равны проводимости ветви (взятой со знаком минус), находящейся между узлами i и j, или нулю при отсутствии связи между узлами:

4.3. Запишем уравнения узловых напряжений в матричной форме Y∆·U∆ = J:

Составим уравнения узловых напряжений в виде системы уравнений:

5,33U 1 3,33U 2 3

3,33U 1 8,61U 2 1,67U 3 1,11U 4 5

1,67U 2 4,35U 3 1,43U 4 1,25U 5 4

1,11U 2 1,43U 3 2,54U 4 8

7

Выполнение задания 5

В матричной форме уравнение контурных токов (II закон Кирхгофа) имеет вид:

N·ZB·I = EK

Выразим матрицу токов I в ветвях через вектор контурных токов Iк, используя следующие известные уравнения связи между ними: I = Nt·IК. Тогда второй закон Кирхгофа будет иметь вид:

N·ZB·Nt·IК = EK.

Произведение трех матриц N·ZB·Nt позволяет получить матрицу контурных сопротивлений:

ZK = N·ZB·Nt,

где Nt — транспонированная матрица N:

Тогда матричное уравнение контурных токов можно записать в виде:

ZK·IК = EK.

Определяем матрицу контурных сопротивлений:

Определяем матрицу контурных ЭДС:

8

Запишем матричное уравнение контурных токов ZK·IК = EK:

Составим уравнение контурных токов:

9

Выполнение задания 6

6.1. Данные из 4 задания:

5,33U 1 3,33U 2 3

3,33U 1 8,61U 2 1,67U 3 1,11U 4 5

1,67U 2 4,35U 3 1,43U 4 1,25U 5 41,11U 2 1,43U 3 2,54U 4 8

Решим систему уравнений узловых напряжений с использованием алгоритма метода Гаусса с обратным ходом. Алгоритм включает в себя 2 этапа:

I этап – прямой ход Гаусса. Прямой ход Гаусса состоит из одинаковых шагов, связанных с формированием из матрицы коэффициентов Y∆ верхней треугольной матрицы.

1 шаг: Получим первое ключевое уравнение для чего разделим первое уравнение системы узловых напряжений на диагональный элемент Y∆11 = 5,33. Для исключения U∆1 из i-го уравнения мысленно помножим ключевое уравнение на коэффициент при U∆1 i-го уравнения, взятый с обратным знаком, а затем сложим ключевое и i-е уравнение:

U 1 0,625U 2 0,563

6,529U 2 1,67U 3 1,11U 4 6,875

1,67U 2 4,35U 3 1,43U 4 1,25U 5 41,11U 2 1,43U 3 2,54U 4 8

2 шаг: Получаем второе ключевое уравнение:

U 2 0,256U 3 0,17U 4 1,053

3,9U 3 1,714U 4 1,25U 5 5,759.

1,714U 3 2,351U 4 6,831

1,25U 3 1,25U 5 6

3 шаг: Получаем 3-е ключевое уравнение:

U 3 0,439U 4 0,32U 5 1,477

1,598U 4 0,548U 5 4,299 .0,549U 4 0,85U 5 7,846

4 шаг: Получаем 4-е ключевое уравнение:

5 шаг: Получаем пятое ключевое уравнение:

U 5 9,621.

В результате прямого хода Гаусса уравнение узловых напряжений приобретает

вид:

10