40

2.4. Матрицы соединений графа электрической сети

Направленный граф может быть аналитически отображен с помощью первой и второй матрицы инциденций (соединений), наличие которых позволяет записать в символьном виде уравнения состояния электрической сети.

2.4.1. Матрица соединений ветвей графа в узлах (первая матрица инциденции)

Первая матрица инциденции служит для обобщенного аналитического представления соединений ветвей в узлах направленного графа.

Для пояснения принципов составления первой матрицы инциденций -рас смотрим схему сети и отвечающий ей направленный граф, изображенные на рис. 2.4.

вершиной (имеет направление от узла i); -1, если ветвь j соединена с узлом i своей конечной вершиной (направлена к узлу i); 0, если ветвь j не связана с узлом i.

41

Таким образом, для графа сети, изображенного на рисунке 2.4, первую матрицу инциденций можно записать в следующем виде:

Каждая строка матрицы МS показывает, какие ветви соединены с данным узлом,

атакже их направление по отношению к данному узлу. Каждый столбец матрицы

МS показывает, какие узлы являются начальной и конечной вершинами соответ-

ствующей ветви. В каждом столбце матрицыМS может быть только одна положительная и одна отрицательная единица, а остальные элементы столбца равны нулю. Поэтому при сложении всех строк матрицыМS по столбцам получается нулевая строка:

где Iв - матрица-столбец неизвестных токов ветвей,

I у -матрица-столбец задающих токов узлов.

Следует отметить, что уравнения, записанные в соответствии с(2.23) для всех узлов, не являются независимыми.

Для получения матрицы соединений, отвечающей системе независимых уравнений, из матрицы МS следует исключить строку, соответствующую балансирующему узлу. В связи с этим балансирующему узлу удобно присвоить последний номер.

Принимая для схемы, изображенной на рисунке2.4, в качестве балансирующего узел № 6, матрицу М, отвечающую системе независимых уравнений, а также матрицу-строку Мб , отвечающую балансирующему узлу, запишем в виде:

Тогда система независимых уравнений первого закона Кирхгофа примет следующий вид:

Таким образом, матрицу МS можно представить в виде двух блоков:

éМ ù МS = êëМб úû .

Используя запись условия (2.22) через матрицы, разделенные на блоки, получим:

сирующему узлу, может быть получена суммированием прочих строк по столбцам и изменением знаков элементов суммарной матрицы на обратные:

точно воспользоваться матрицей М, так как по ней может быть восстановлена

Количество строк в матрицеМ соответствует количеству независимых узлов, количество столбцов – количеству ветвей, т.е. в общем случае матрицаМ- прямоугольная.

Для разомкнутой схемы, в том числе и для дерева графа, матрица М - квадратная. Ее определитель равен +1 или –1, и она имеет обратную матрицу, элементами которой также являются 1; -1; 0.

В отличие от матрицы МS , матрица М в каждом столбце может содержать как два, так и один значащий элемент. Последнее означает, что ветвь, соответствующая столбцу с одним значащим элементом, одной из вершин соединена с балансирующим узлом.

43

Матрица М может быть представлена в виде двух блоков, отвечающих дереву (Мa ) и хордам (Мb ) графа. Для этого необходимо вначале пронумеровать

ветви дерева, а затем хорды, например, как показано на рис.2.2.

В этом случае для направленного графа, изображенного на рис.2.2, первая матрица инциденций будет иметь вид:

Составление первой матрицы инциденций М легко формализуется с помощью вычислительной техники. Обычно это выполняется простым перебором заданных ветвей схемы, т.к. схема задается именно ветвями, либо непосредственно схемой замещения какого-либо элемента, либо его части. Ветвь задается с записью всех параметров, отвечающих графу схемы: номер ветви, номер начального узла, номер конечного узла, активное сопротивление, реактивное сопротивление, модуль ЭДС, фаза ЭДС.

При таком задании ветвей схемы, организовав цикл для анализа присоединений ветвей к узлам, можно легко составить матрицу М, используя только логические операции.

Матрица М может быть применена также для определения падений напряжений на ветвях схемы Uв .

Обозначим столбец напряжений всех узлов схемы (узловых напряжений) как US = {Ui }, i = 1,…,n. По этим напряжениям с помощью матрицыMS можно определить падения напряжений на ветвях схемы. Если матрицу MS транспонировать, то каждая строка матрицы MS t будет содержать положительную единицу в столбце, соответствующем начальной вершине, и отрицательную единицу в столбце, соответствующем конечной вершине. То есть при умножении матрицы MS t на мат- рицу-столбец напряжений узлов US справа для каждой ветви схемы получим разность напряжений (или потенциалов) между ее начальной и конечной вершинами, т.е. падение напряжений на этой ветви:

Здесь матрица US записана для всех узлов схемы, включая балансирующий.

Часто узловые напряжения целесообразно определять относительно балансирующего узла, т.е. как падения напряжения от каждого из независимых узлов схемы до балансирующего. Эти значения отличаются от напряжений нейтрали на одну и ту же величину – напряжение балансирующего узла Uб :

44

где n - единичный столбец (при этом балансирующий узел предполагается последним по номеру, т.е. Uб = U n );

UD = {Ui -U б }, i =1, …, n-1 - определяет напряжения узлов относительно ба-

2.4.2. Матрица соединений ветвей графа в независимых контурах (вторая матрица инциденции)

Вторая матрица инциденций N (матрица контуров) служит для обобщенного аналитического представления соединений ветвей схемы в независимые замкнутые контуры. Принцип ее составления может быть получен из анализа общей формы записи уравнений по второму закону Кирхгофа.

Для примера рассмотрим граф, изображенный на рис.2.5.

Рис. 2.5

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа, выбрав произвольно направления обхода контуров

45

1×U1 + 0 ×U 2 -1×U3 +1×U 4 + 0 ×U5 = 0

1×U1 +1×U 2 -1×U3 + 0 ×U 4 +1×U5 = 0

Представим индексы в матричной форме:

ветви

В матричном виде для каждого контура можно записать:

Таким образом, записывая формально уравнения второго закона Кирхгофа по уравнению (2.32), где i изменяется от 1 до n, n - число ветвей контура, можно отметить, что mi принимает одно из трех значений: +1, если ветвь входит в независимый замкнутый контур и совпадает с направлением обхода; -1, если ветвь входит в независимый замкнутый контур, но не совпадает с направлением его обхода; 0, если ветвь не входит в рассматриваемый контур.

Если эти индексы записать для всех независимых контуров и представить в табличной форме, то получим матрицу, столбцы которой будут отвечать ветвям, а строки – контурам. На пересечении столбца и строки записываются индексы принадлежности ветви тому или иному контуру. Эта матрица получила название матрицы контуров. Каждая строка матрицы N показывает, какие ветви входят в состав соответствующего независимого замкнутого контура и с каким направлением -от носительно направления контура. Каждый столбец матрицы N показывает, в состав каких независимых замкнутых контуров входит данная ветвь и совпадает ли ее направление с направлением обхода этих контуров.

Порядок составления матрицы N следующий: после обозначения и придания направления всем ветвям выбираются независимые замкнутые контуры схемы, выбираются направления обхода контуров. Затем строится матрица N, в которой отражаются индексы принадлежности каждой ветви каждому независимому контуру.

Матрица N имеет столько строк, сколько столбцов имеет подматрицаMb.

Оба числа равны числу хорд, или, что то же, числу независимых контуров в схеме. Вид матрицы N зависит от выбора независимых замкнутых контуров и принятых направлений их обхода. При одной и той же нумерации узлов и ветвей в зависимости от выбора независимых контуров получаются различные матрицы, т.е. одному

итому же графу сети может соответствовать несколько матриц N.

Вобщем случае матрицаN прямоугольная, т.е. не имеет обратной. Если в схеме имеются ветви, не входящие в замкнутый контур, то они не отображаются в матрице N, следовательно, по ней невозможно восстановить исходную схему(в отличие от матрицы М).

46

Матрицу N целесообразно разделить на блоки (как и матрицу M) так, чтобы одна из подматриц получилась квадратной. Такое разделение на блоки удобно производить в соответствии с делением схемы на дерево и хорды:

N = [NaNb ] . (2.33)

При нумерации ветвей схемы целесообразно вначале нумеровать ветви дерева, а затем хорды. При этом каждой ветви дерева дается номер ее конечного узла, а хорды нумеруются в той же последовательности, в какой пронумерованы соответствующие независимые контуры. Каждый из контуров замыкается одной хордой, т.е. каждая хорда входит только в один контур. Кроме того, направления обхода указанных независимых контуров должны совпадать с направлениями соответствующих хорд. При этом подматрица Nb получается квадратной и единичной.

Рассмотренные контуры называют базисными. Они взаимно независимы, так как в каждый из них входит одна ветвь(хорда), не входящая ни в какой другой контур.

Для примера составим матрицуN для графа сети, изображенного на рис. 2.6, используя правило выбора базисных контуров.

3

Рис.2.6. К правилу выбора базисных контуров

В этом случае матрица контуров будет иметь вид:

где Uв - столбец падений напряжений на ветвях схемы.

Действительно, из всех падений напряжений будут алгебраически суммироваться только падения напряжения на тех ветвях, которые входят в данный независимый контур.

Формализованное составление матрицы N по сравнению с первой матрицей инциденций M с точки зрения реализации на ЭВМ выполняется более сложно, поскольку необходимо выделить независимые контуры, а эта операция неоднозначна.

Однако, если учесть, что первая матрица инциденций M содержит информацию о всей схеме, то можно предположить, что по ней может быть получена и