37

Задача применения матричной алгебры состоит в том, чтобы формализовать запись указанных уравнений. Обычно это производят с применением теории графов и методов исследования топологии сети. После завершения формирования уравнений их решают либо непосредственно с помощью применениячисленных методов, либо с привлечением методов обращения матриц коэффициентов.

Например, пусть имеется система уравнений

Умножив обе части уравнения(2.18) на А-1 слева и учитывая, что произведение взаимно обратных матриц дает единую матрицу (А-1´А = 1), получим:

Следует, однако, отметить, что, несмотря на кажущуюся простоту решения матричного уравнения, объем вычислений по этому решению остается достаточно большим. Причем, наибольшие трудности связаны с нахождением обратной матрицы. Однако, независимо от сложности технического выполнения этой операции, сама запись матричных преобразований с ее использованием значительно упрощает решение задач в общем виде.

Для решения конкретных задач матричным методом, в том числе и для записи уравнений состояния в символическом виде, необходимо иметь аналитическое описание схемы соединения ветвей и схемы замещения системы. Это описание может быть получено при использовании некоторых представлений топологической теории графов.

2.3. Схема замещения сети как связанный направленный граф

Конфигурацию схемы замещения электрической системы можно отобразить

ввиде графа.

Вэлектротехнике основы применения теории графов были заложены Кирхгофом в средине XIX века. Он показал, что при составлении уравнений состояния электрической цепи последнюю удобно представить графом, с помощью которого и находить линейно независимые системы контуров путем выделения в графе его деревьев. Такой подход позволяет формализовать составление уравнений состояния, облегчив реализацию расчетов режимов больших схем на ЭВМ, особенно в электроэнергетике.

Под графом электрической сети понимают геометрическое построение, отображающее конфигурацию схемы замещения электрической системы, а также все связи этой системы. При этом ветвям схемы ставятся в соответствие ребра графа, а узлам схемы – вершины графа.

Ребро – это линия, имеющая две конечные точки. Оно может быть направленным, если для линии задано направление из одной точки в другую. Оно не обязательно должно быть прямой линией, но не пересекает само себя, т.е. не имеет общих точек. В электротехническом смысле ребро может обозначать ветвь с -со противлением, выпрямителем и т.д. В общем случае ребру могут приписываться и

38

другие значения, например, ребро может означать процесс между двумя состояниями.

Если ветви графа имеют направление, то граф называется направленным. Совокупность всех ребер, соединяющих две одинаковые точки, называют

кратными ребрами (параллельными ветвями).

Вершина – это конечная точка ребра или одна изолированная точка. В электротехническом смысле вершинам соответствуют узлы схемы замещения.

Если в схеме имеются замкнутые контуры, то ее граф называется замкнутым (в противном случае – разомкнутым).

Любая совокупность вершин и ребер, выделенных из исходного графа, называется подграфом (частичным графом).

Совокупность ребер, соединяющих две произвольные вершины, называется путем графа. Если начальная и конечная вершины пути графа совпадают, то этот путь графа является замкнутым и образуетконтур. Под длиной пути понимают число ребер пути. Если в графе можно выбрать путь, который соединяет его любые две вершины, то этот граф является связанным, если нельзя – несвязанным. На рис.2.1 приведены примеры связанного (а) и несвязанного (б) графов.

Рис.2.1

Как уже отмечалось, если ветви графа имеют направления, то граф является направленным. В этом случае каждое ребро графа имеет начальную и конечную вершины, и его направление принимается от начальной вершины к конечной.

Наиболее распространенными выделенными совокупностями графа являются дерево и хорды графа. Подграфом дерева называется совокупность ветвей гра-

фа, соединяющих между собой все вершины графа без образования замкнутых контуров. (Иными словами, дерево – это разомкнутая часть замкнутой схемы, включающая все узлы схемы). Подграф, дополняющий подграф дерева до полного графа схемы сети, называют подграфом хорд. Этот подграф фактически замыкает независимые контуры. В частном случае, если граф представляет собой разомкнутую схему, т.е. в нем отсутствуют замкнутые контуры, он состоит только из подграфа дерева.

39

Рис.2.2 Выделение дерева и хорд графа

Граф можно разделить на дерево и хорды по-разному. На рис.2.3 показан еще один из вариантов выделения дерева и хорд в графе рис.2.2:

Рис.2.3 Вариант выделения дерева и хорд графа

Обычно выбирают такой алгоритм выделения подграфа дерева, который позволяет при выделении подграфа хорд считать, что каждая хорда замыкает один независимый контур, и эти контуры называют системой базисных контуров графа.

Из приведенных выше кратких теоретических сведений теории графов можно сделать вывод, что схема замещения электрической сети может отображаться в виде графа. Схема замещения сети обычно отображается связанным графом. Он состоит из ветвей, соединенных в узлы. Эти ветви образуют цепочки (пути графа), которые могут замыкаться и образовывать тем самым замкнутые контуры. Все величины, характеризующие состояние ветвей, имеют определенные направления (ЭДС, напряжения, токи), в связи с чем целесообразно каждой ветви схемы придать произвольно определенное направление. Таким образом, схема замещения сети является связанным направленным графом, ребрами которого являются ветви, а вершинами узлы.