29
Отметим, что возможность использования симметрии коэффициентов уравнений и их “слабой заполненности” является важнейшим свойством, которое надо учитывать при сопоставлении различных методов расчета установившихся режимов.
Важной особенностью уравнений узловых напряжений является также простота их составления – методика вычисления собственных и взаимных проводимостей проста. Обычно в качестве исходных данных для расчетов установившихся режимов ЭЭС задают сопротивления продольных ветвей(линий электропередачи, трансформаторов и др.), проводимости на землю (линий электропередачи, реакторов, трансформаторов), а также топологию схемы (схему соединений). Топология схемы, как правило, отражается номерами узлов, соединенных ветвями. Собственные и взаимные проводимости узлов рассчитываются на ЭВМ. Такой расчет очень прост, так как выполняется в соответствии с выражениями (1.29) и (1.30).
Следует также отметить, что рассчитанные узловые напряжения позволяют достаточно легко определить все остальные параметры режима ЭЭС.
Отмеченные выше особенности уравнений узловых напряжений обусловили их широкое применение при расчетах установившихся режимов ЭЭС.
1.7. Уравнения контурных токов
Рассмотренные уравнения узловых напряжений основывались на использовании первого закона Кирхгофа и закона Ома. Их применение позволяет значительно понизить порядок решаемой системы уравнений по сравнению с обобщенными уравнениями состояния, поскольку количество узлов всегда меньше количества ветвей, особенно в сложных схемах.
Другим методом, дающим возможность понижения порядка решаемой системы уравнений, является метод контурных токов, основанный на использовании второго закона Кирхгофа и закона Ома. При расчете режимов сети с помощью этого метода считают, что в каждом независимом контуре протекает свой контурный ток. При этом действительные токи ветвей, являющихся общими для двух или более контуров, представляются в виде алгебраической суммы соответствующих контурных токов, а токи в ветвях, входящих только в один контур, приравниваются соответствующим контурным токам с учетом выбранных положительных направлений токов ветви и контурного.
Введение этих контурных токов позволяет уменьшить число переменных в системе уравнений состояния, так как число независимых контуров значительно меньше числа ветвей.
Уравнения контурных токов можно получить на основании второго закона Кирхгофа, если токи в ветвях выразить через контурные.
30
Е1 |
|
|
|
|
|
I |
1 |
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Е2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
U |
3 |
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
I |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Iк1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис.1.11. Схема замещения сети
Для схемы, изображенной на рис. 1.11, при принятых положительных направлениях токов в ветвях и направлениях обхода контуров по второму закону Кирхгофа можно записать 2 независимых уравнения:
- z1 I 1 - z 3 I 3 = -E1 |
(1.38) |
|
z 2 I 2 + z 3 I 3 = E 2 . |
||
|
||
Уравнения (1.38) непосредственно решить нельзя, так как количество пере- |
||
менных больше количества уравнений. |
|
|
Выполним замену переменных в уравнениях(1.38). Для этого введем пред- |
||
положение, что независимые контуры обтекаются некоторыми условными контурными токами I к1 и I к 2 , которые обладают таким свойством, что ток каждой ветви может быть получен как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих по этой ветви. Тогда с учетом выбранных положительных направлений токов ветвей и контурных токов для схемы рис.1.11 можно записать:
I 1 |
= -I к1 |
|
|
||
I 2 |
= I к 2 |
|
|
||
I 3 = -I к1 + I к 2 . |
|
|
|||
Тогда уравнения (1.38) можно записать в следующем виде: |
|
||||
z1 I к1 + z 3 |
× (I к1 - I к2 ) = -E1 |
(1.39) |
|||
z 2 I к 2 - z 3 × (I к1 - I к 2 ) |
= E 2 . |
||||
|
|||||
Сгруппируем подобные члены уравнений(1.39) относительно неизвестных |
|||||
и введем следующие обозначения: |
|
|
|
|
|
z11 = z1 + z 3 |
|
|
|||
z 22 |
= z 2 + z 3 |
|
|
||
z12 = -z 3 |
|
|
|||
E к1 |
= -E1 |
|
|
||
E к 2 |
= E 2 , |
|
|
||
где z11 , z 22 - собственные сопротивления независимых контуров; z12 - взаимные сопротивления контуров; E к1 , Е к 2 - контурные ЭДС.
С учетом принятых обозначений уравнения (1.39) примут следующий вид:
31
z11 I k1 + z12 I k 2 z 21 I k1 + z 22 I k 2
=E
=E
k1
k 2
ü
ý (1.40)
þ
Собственные сопротивления представляют собой сумму сопротивлений всех ветвей, входящих в независимый замкнутый контур.
Взаимные сопротивления представляют собой сумму сопротивлений ветвей, по которым совместно протекают контурные токи. В данном случае это одно сопротивление z3 , по которому протекают токи контуров1 и 2. Если контуры не имеют общих сопротивлений, то взаимные сопротивления равны нулю.
Если положительные направления контурных токов в общей ветви совпадают, то общее сопротивление берется со знаком “ + ”, в противном случае – со знаком “ – ” (в данном случае z12 = -z3 ). Если контуры не имеют общих ветвей, то их общее сопротивление равно нулю.
Контурные ЭДС находятся суммированием ЭДС ветвей, входящих в замкнутый контур, с учетом принятых положительных направлений обхода контуров.
Если в схеме присутствуют источники тока, то они могут быть заменены эквивалентными источниками напряжения.
В общем виде уравнения контурных токов можно записать следующим обра-
зом:
z11 I k1 + z12 I k 2
z n1 I k1 + z n2 I k 2
+ K + z1n I kn = E k1 ïü |
(1.41) |
|
M |
ý |
|
+ + z nn I kn = E kn ï
K þ
Важным свойством уравнений контурных токов является то, что взаимные сопротивления коэффициентами уравнений, обладают свойством симметрии, т.е. z ij = z ji . Кроме того, уравнения контурных токов содержат большое количество
нулевых коэффициентов, так как не все замкнутые контуры имеют между собой взаимные сопротивления. Как и в уравнениях узловых напряжений, данные особенности уравнений контурных токов могут быть использованы для получения эффективных алгоритмов решения систем уравнений.
Следует также отметить, что для составления уравнений контурных токов необходимо выделить в схеме независимые контуры. Для сложных схем эта процедура требует большой квалификации расчетчика и плохо формализуется. Она может быть формализована лишь с привлечением специальных методов, реализация которых требует в свою очередь высокой квалификации расчетчика и программиста. Чаще всего метод применяется тогда, когда в схеме присутствуют источники напряжения, т.к. при наличии источников тока их приходится заменять искусственно источниками напряжения, что усложняет расчет.