96

(i +1)

Значение напряжения, вычисленное с ускорением, U k уск принимается в качестве исходного при расчете следующего (i + 2)- го шага.

Основное достоинство метода в том, что он легко программируется и требует малой памяти ЭВМ. Недостаток метода состоит в медленной сходимости. Метод Зейделя особенно медленно сходится, а в ряде случаев и расходится в расчетах установившихся режимов электрических систем с устройствами продольной компенсации, с трехобмоточными трансформаторами или автотрансформаторами с очень малым сопротивлением обмотки среднего напряжения и для электриче-

ских систем с дальними линиями электропередачи и сильной неоднородностью параметров. Метод Зейделя также плохо сходится либо расходится в расчетах режимов, близких к предельным, либо при определении режимов, неустойчивых по статической апериодической устойчивости.

4.6.4. Применение метода Ньютона для решения одного уравнения

Метод Ньютона весьма эффективен для решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Его основное достоинство состоит в том, что при сравнительно несложном алгоритме он обладает быстрой сходимостью. Метод Ньютона универсален и пригоден для решения обширного класса нелинейных уравнений.

Идея метода Ньютона состоит в последовательной замене на каждой итерации нелинейной системы уравнений некоторой линейной, решение которой дает значения неизвестных, более близкие к решению нелинейных систем, чем исходное приближение.

W х 1

х

2 1 0

Рис.4.1. Пояснения к методу Ньютона

Алгоритм метода состоит в том, что если задаться некоторым нулевым приближением и вычислить функцию для этого приближения, затем рассчитать про-

100

Если матрица Якоби не вырождена (то есть ее определитель не равен нулю), то решение может быть получено, в том числе, и по методу Гаусса. После этого

можно найти первое приближение:

X (1) = X (0) + DX (1).

Таким образом, каждый шаг итерационного процесса представляет собой

Далее определяются следующие приближения неизвестных. Решение ве-

дется до тех пор, пока не выполнится условие:

W(X(i+1))£ e.

Метод Ньютона использует на каждом шаге решение линейной системы уравнений, получаемой с использованием частных производных в процессе -ли неаризации, что создает более целенаправленное движение к получению решения и сокращает количество итераций, необходимое для получения решения с заданной точностью.

4.6.6. Применение метода Ньютона для решения уравнений узловых напряжений

Пусть имеется сеть из трех узлов. Запишем для такой сети уравнения узловых напряжений, считая узел 3 балансным

*

Y 11U 1 + Y 12U 2 = S* 1 - Y 13U 3

U 1

*

Y 21U 1 + Y 22U 2 = S* 2 - Y 23U 3 .

U 2

Будем считать, что мощности имеют постоянную величину, и вследствие этого система является нелинейной. Придадим уравнениям вид функций, зависящих от напряжений U1 ,U 2 :

Как видно из полученной матрицы Якоби, в этой матрице диагональные элементы зависят от искомых переменных. Этим она отличается от матрицы коэффициентов линейных уравнений. Анализ этой матрицы показывает, что структура ее, за исключением диагональных элементов, остается такой же, как и структура матрицы коэффициентов линейной системы уравнений узловых напряжений. Это позволяет использовать в методе Ньютона все способы оптимизации решения, применяемые для расчета режимов сложных энергосистем(учет разряженности, симметрия матрицы коэффициентов и др.). С другой стороны, для решения линеаризованных уравнений методом Ньютона не эффективно использование обратной матрицы, так как из-за зависимости диагональных элементов от значений переменных на каждом шаге итерации необходимо было бы обращать матрицу -ко эффициентов, что значительно уступает по эффективности методу Гаусса с обратным ходом.

Систему нелинейных уравнений можно записать в следующем виде:

Тогда фактическое решение может быть записано следующим образом: