92

Как следует из данных, итерационный процесс сошелся к решению с точно-

стью до пяти знаков после запятой(e = 0,5 ×10-5 ) за 87 итераций. При уменьшении требуемой точности до четырех и трех знаков после запятой число итераций составило соответственно 67 и 45.

Преобразование системы уравнений указанным способом позволяет обеспечить сходимость метода Зейделя, однако при этом надо учитывать два важных для практики фактора:

-при переходе от А к А¢ возрастает заполненность матрицы коэффициентов решаемой системы уравнений, т.е. возрастает объем вычислений на каждом шаге итерационного процесса и требуемый объем оперативной памяти ЦВМ;

-сходимость итерационного процесса к решению может быть очень медленной, что существенно влияет на оценку эффективности метода. Сама по себе сходимость итерационного процесса не является достаточным основанием для суждения о целесообразности практического применения метода.

Рассмотренный пример демонстрирует эти два фактора в намеренно гипертрофированном виде и не является типичным для реальных условий, поскольку структу-

ра матрицы Yу была умышленно искажена по сравнению с обычно используемой

при формировании узловых уравнений, т.е. симметричной и с доминированием диагональных элементов.

В реальных задачах подобное преобразование не приводит к столь отрицательным последствиям, но, тем не менее, отмеченные факторы следует иметь в виду при стремлении обеспечить сходимость итерационных процессов по методу Зейделя.

4.6.Методы решения нелинейных систем уравнений

4.6.1.Причины нелинейности уравнений состояния в расчетах

электроэнергетических систем и сетей

Ранее было отмечено, что нелинейность систем уравнений состояния может быть связана с нелинейностью пассивных или активных элементов.

Нелинейность пассивных элементов может быть следствием зависимости сопротивлений от температуры, от напряжения (нелинейность характеристики намагничивания трансформаторов) и учитывается обычно лишь в специальных -за дачах, например, при расчете высших гармонических, при расчете аварийных переходных процессов (например, феррорезонансных). В расчетах установившихся режимов все пассивные элементы предполагаются линейными, учитывается лишь нелинейность активных элементов (генераторов, нагрузок).

Нагрузки потребителей могут быть представлены следующим образом.

1. Статические характеристики, то есть зависимости активной и реактивной мощности нагрузки от напряжения Pнг (U ), Qнг (U ). Статические характеристики для каждой нагрузки определяются составом потребителей. В большинстве случа-

93

ев используют типовые статические характеристики нагрузок для некоторой -ус ловной комбинированной по составу нагрузки.

2. Мощности, постоянные по величине, Pнг = const , Qнг = const . Этот способ задания нагрузки является точным для электрических систем, полностью обеспеченных устройствами регулирования напряжения.

3. Постоянные проводимости на землю gнг = const , bнг = const . Такое задание нагрузки соответствует статическим характеристикам в виде квадратичных парабол.

4. Токи, постоянные по модулю и по фазе, Iнгa = const , Iнгr = const . Источники тока, соответствующие генераторам, могут задаваться следую-

щим образом.

1. Мощности, постоянные по величине, Pг = const , Qг = const . При таком способе генератор задается аналогично нагрузке потребителей с постоянной мощностью (отличие – в знаке).

2. Постоянные активная мощность и модуль напряженияP = const ,

г

Uг = const . В этом случае переменными, как правило, являются реактивная мощность и фаза напряжения. Узлы со свободной реактивной мощностью Q соответствуют синхронным компенсаторам либо генераторам, работающим в режиме синхронного компенсатора. Такие узлы называют балансирующими по реактивной мощности.

3. Постоянные модуль и фаза напряженияUг = const , dг = const . В таких узлах переменными являются активная и реактивная мощности Pг = var , Qг = var . Этот способ задания исходных данных соответствует узлам, балансирующим по активной и реактивной мощности.

Например, при использовании уравнений узловых напряжений в случае самой простой записи в правые части уравнений записываются токи узлов I уi :

уравнения оказываются нелинейными, поскольку U уi ¹ const .

Точных методов, пригодных для решения нелинейных алгебраических уравнений, не существует.

Применяемые в настоящее время алгоритмы решения нелинейных уравнений состояния основываются на двух методиках. Одна из них связана с применением для построения итерационного процесса методов решения линейных алгебраических уравнений. При этом считается, что на каждом шаге итерации система линейна и может быть решена, например, методом Гаусса или с использованием

94

обратной матрицы. Эти методы получили название методов внешней итерации и, по сути, являются методами многократного решения систем линейных уравнений.

Другая методика связана с применением специализированных методов -ре шения нелинейных систем уравнений(итерационные методы решения– метод простой итерации, метод Зейделя, метод Ньютона и др.).

4.6.2. Применение метода внешней итерации

Если считать систему уравнений линейной на данном шаге, то можно использовать метод Гаусса на каждом шаге итерационного процесса.

Например, при использовании уравнений узловых напряжений задаются начальным приближением напряжений узлов и определяют задающие токи узлов. После этого система уравнений может быть решена по методу Гаусса и может быть получено первое приближение напряжений узлов. Далее переходят к следующему шагу, т.е. определяют задающие узловые токи при значениях напряжений узлов, равных их первым приближениям. Затем находят следующее приближение узловых напряжений и так далее, пока итерационный процесс не сойдется. Таким образом, каждый шаг итерационного процесса состоит из определения задающих токов узлов по приближениям узловых напряжений и решения линейной системы уравнений узловых напряжений.

Следует отметить, что для эффективного решения уравнений установившегося режима по Гауссу необходимо учитывать слабую заполненность матрицы узловых проводимостей.

Обратная матрица позволяет более рационально организовать процесс -ре шения нелинейных уравнений. Так как при решении уравнений установившегося режима матрица коэффициентов остается неизменной(так как пассивные элементы считаются линейными), а изменяются только правые части, поэтому обратная матрица, получаемая для такой системы, также остается неизменной и может быть использована на каждом шаге итераций. Если число итераций велико(>4), то такой процесс решения становится более эффективным, чем решение по методу Гаусса при хорошо заполненной матрице коэффициентов. Обратная матрица вычисляется один раз, а каждый шаг итерационного процесса при использовании уравнений узловых напряжений заключается в определении задающих токов по приближениям узловых напряжений и умножении на них обратной матрицы.

4.6.3. Применение итерационных методов для решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения линейных уравнений наиболее просто могут быть использованы и для решения нелинейных задач. Именно поэтому метод Зейделя нашел широкое применение в промышленных программах. Алгоритм итерационного процесса достаточно прост. С помощью небольшого изменения алгоритма можно решать и нелинейные задачи. Это изменение состоит в том, что в