68

Если матрица является плохо обусловленной, то либо нужно обеспечить большую точность задания исходных данных, либо необходимо пересмотреть математическую модель сети и сделать ее более точной, либо применить другие методы для решения уравнений в случаях, когда рассматриваются задачи с условиями, близкими к предельным по осуществимости.

Для примера рассмотрим систему уравнений:

(1000 + e )x1 + x2 = 1002 2001x1 + 2x2 = 2005,

где e - погрешность задания коэффициента a11 .

Решение этой системы можно записать в следующем виде:

Причиной такой чрезвычайно высокой чувствительности решения к- по грешности исходных данных является плохая обусловленность матрицы. Действительно, ее определитель при e = 0 равен:

то есть значительно меньше оценки Адамара:

Dмакс = (10002 +12 ) × (20012 + 22 ) » 2 ×106 .

4.4.Применение обратных матриц для решения уравнений

Вряде электротехнических задач приходится многократно решать системы уравнений при неизменной схеме замещения электроэнергетической системы, например, при расчете режимов максимальных и минимальных нагрузок, когда задаются различные уровни напряжения источников, при изменении нагрузок в узлах.

Втаких случаях при использовании метода Гаусса приходится многократно решать одну и ту же систему уравнений с изменяющимися правыми частями, т.е. матрица коэффициентов A остается неизменной, а в каждом расчете меняются столбцы правых частей. Таким образом, приходится многократно преобразовывать одну и ту же матрицу.

69

Решение системы уравнений

AX = в

можно представить в виде

X = A -1в .

Поскольку коэффициенты системы уравнений не меняются, то матрица

A-1 вычисляется один раз. Для получения решения относительно неизвестных X с другими правыми частями нужно лишь умножить эту обратную матрицу на новый столбец правых частей. Так как операция умножения матрицы является более экономичной по сравнению с операцией решения системы уравнений, то применение обратной матрицы для многократного решения уравнений также является более экономичной операцией.

4.4.1. Классический метод получения обратной матрицы

При обращении матрицы( А ) классическим способом коэффициенты обратной матрицы (D) могут быть найдены с помощью следующего выражения:

где A - определитель матрицы A ;

Aji -минор элемента a ji в определителе матрицы A .

В расчетах рекомендуется использовать следующий алгоритм определения обратной матрицы классическим способом:

-находят определитель исходной матрицы;

-исходную матрицу транспонируют;

-заменяют каждый элемент транспонированной матрицы его минором;

-меняют знаки у элементов с нечетной суммой индексов;

-каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы.

Для примера рассмотрим решение системы уравнений третьего порядка с использованием обратной матрицы, полученной классическим способом.

Пусть необходимо решить систему уравнений

x1 + x2 + x3 = 4 2x1 + 3x2 + x3 = 9 x1 - x2 - x3 = -2.

Запишем матрицу коэффициентов системы:

70

Вычислим определитель исходной матрицы:

D = -3 +1 - 2 - 3 + 1 + 2 = -4.

Тогда в соответствии с выражением (1.117) обратную матрицу А -1 получим в следующем виде:

Для нахождения решения системы уравнений нужно умножить полученную обратную матрицу на матрицу-столбец правых частей:

Классический способ обращения матриц малоэффективен, так как при его использовании необходимо вычислить определитель n степени и n2 определителей (n-1) степени, где n – порядок решаемой системы уравнений.

Вычисление определителя порядкаn требует (n -1)(n 2 + n + 3) операций

3

умножения и деления и, в общем случае, близко по трудоемкости к операции решения системы уравнений, поэтому получение обратной матрицы этим методом оказывается более трудоемким, чем решение систем уравнений методом Гаусса. В связи с этим в настоящее время используются другие способы получения обратных матриц.

4.4.2. Получение обратных матриц с помощью метода Гаусса без обратного хода

Система из n линейных алгебраических уравнений

AX = в

решается методом Гаусса без обратного хода заn шагов, в результате которых ис-

ходная система преобразуется к виду

A¢X = в¢ ,

71

где A¢ -диагональная матрица коэффициентов уравнений, полученная после n преобразований в процессе прямого хода.

Окончательное решение может быть записано в виде

1× X = в¢¢,

где в¢¢ -получается после умножения в¢ на матрицу (A¢)-1 :

в¢¢ = (A¢)-1в¢.

Для диагональной матрицы обратная также является диагональной; в диагонали расположены коэффициенты, обратные коэффициентам исходной матрицы. То есть последнюю операцию выполнить очень просто.

Если предположить, что нужно решить ряд систем уравнений с одной и той же матрицей коэффициентов A и разными правыми частями, то в матричном виде это можно представить следующим образом:

AX = B ,

или

где X - матрица неизвестных для каждой из систем; B - матрица правых частей для каждой из систем.

Предположим, что матрица X представляет собой обратную матрицу по от-

ношению к матрице A , т. е.

X = A-1 .

Тогда для того, чтобы решение системы уравнений AX = B отвечало нахождению

матрицы A-1 , матрица коэффициентов B должна представлять собой диагональную единичную матрицу:

AX = 1,

Тогда в матричном виде можно записать:

Решив эту систему методом Гаусса относительно Х, получим матрицу A-1 .

Рассмотрим метод на примере системы из трех уравнений:

a11x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1

a21x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2

a31x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 .

72

Запишем матрицу коэффициентов А и единичную матрицу В того же порядка, что и матрица А:

Будем выполнять операции по методу Гаусса одновременно с обеими матрицами, используя соответствующие коэффициенты преобразований, найденные для матрицы коэффициентов А.

Первый шаг:

Полученная матрица В(3) удовлетворяет условию AX = 1 , следовательно X = A -1 и B(3) = A -1, т.е. B(3) - матрица, обратная к A .

Для иллюстрации методики рассмотрим обращение матрицы коэффициентов системы уравнений

x1 + x2 + x3 = 4 2x1 + 3x2 + x3 = 9 x1 - x2 - x3 = -2

73

Первый шаг. Найдем коэффициенты преобразования уравнений:

вычтем из второго уравнения. Эту же операцию проведем с элементами матрицы, стоящей справа. Умножим коэффициент m3(1) на первое уравнение и результат ум-

ножения вычтем из третьего уравнения. Аналогично поступим с элементами матрицы, стоящей справа. В результате получим:

Второй шаг. Найдем коэффициенты преобразования уравнений:

Третий шаг выполняется аналогично первому и второму:

Умножив обратную матрицу на столбец правых частей, найдем искомые неизвестные: