4.3.3. Сравнительная вычислительная эффективность методов Гаусса с обратным ходом и без обратного хода

Как видно из табл. 4.1, при числе уравнений больше двух метод с обратным ходом является более экономичным по количеству операций умножения и деления. Поэтому в стандартных программах, предназначенных для решения систем линейных уравнений, как правило, используется метод с обратным ходом, причем его преимущества тем больше, чем больше порядок решаемой системы уравнений.

Метод Гаусса без обратного хода имеет определенные преимущества при его реализации для получения обратных матриц. Он позволяет вычислять обратную матрицу со значительно большей эффективностью, чем с помощью классического метода.

4.3.4. Влияние округления и погрешности задания исходных данных на точность решения методом Гаусса

Рассмотренные методы Гаусса являются очень удобными для реализации на ЭВМ, но их применение не всегда позволяет получить решение с приемлемой точностью, а в некоторых случаях вообще не позволяет его получить. Причинами возможности появления большой погрешности могут быть:

-округление результатов вычислений;

-неточность задания исходной информации.

Влияние округления на точность решения связана с особенностями метода и состоит в том, что при получении коэффициента преобразованийm на каждом шаге преобразования уравнений в знаменателе этого коэффициента записывается главный диагональный элемент матрицы коэффициентов уравнений состояния.

Если на каком либо шаге этот элемент оказывается равным нулю, то дальнейшее решение не может быть продолжено, так как в этом случае коэффициент преобразования оказывается равным ¥, а эта величина не реализуется на ЭВМ. Поэтому обычно в алгоритмах предусматривают контроль наличия нулевого элемента в диагонали, и в случае его равенства нулю решение прекращается, что часто бывает более приемлемо, чем получение неверного результата в процессе решения вследствие округления.

Иногда в знаменателе коэффициента оказывается очень маленькое, но значащее число. Обычно такие маленькие числа могут получиться в процессе вычи-

66

тания двух, близких по значению, но округленных из-за конечной разрядности ЭВМ, чисел.

Для исключения таких ошибок выполняют такие действия, чтобы диагональные элементы не были равны нулю. Для этого можно переставить местами уравнения системы или поменять местами столбцы.

Трудность задачи заключается том, что диагональные элементы рассчитываются в ходе решения, и нельзя заранее знать, какой из элементов станет нулевым. Поэтому обычно при реализации методов Гаусса на ЭВМ предусматривается алгоритм выбора главного элемента, в качестве которого выбирают наибольший из всех коэффициентов уравнений, совершая соответствующую перестановку строк или столбцов. При таком построении алгоритма, особенно в электротехнических задачах, как правило, обеспечивается необходимая точность решения.

Для примера рассмотрим решение системы из трех уравнений при точном представлении результатов вычислений и с учетом округления.

Пусть имеется система из трех уравнений с тремя неизвестными:

3x1 + x2 + x3 = 8 3x1 + x2 - x3 = 2

x1 + x2 + x3 = 6.

При представлении величин с точностью до четырех значащих цифр уравнения можно записать в виде:

2,9999x1 + 0,9999x2 + 0,9999x3 = 7,9999 2,9999x1 + 0,9999x2 - 0,9999x3 = 1,9999 0,9999x1 + 0,9999x2 + 0,9999x3 = 5,9999.

x3 = 3; x2 = 2; x1 =1

Помимо округления в ходе решения на точность результата влияет погрешности при задании исходных данных. Они могут быть связаны с двумя случаями:

-неточность определения параметров, входящих в уравнения (коэффициентов и правых частей), связанная с отсутствием точных данных по параметрам электрических сетей; неправильное составление электротехнической модели расчетного режима и, как следствие, математической модели;

-анализ режимов сети, близких к предельным по осуществлению.

Во всех этих случаях может сложиться ситуация, когда матрица коэффициентов системы уравнений плохо обусловлена (ее определитель близок к нулю), т.е. коэффициенты системы таковы, что в результате небольшой погрешности в задании информации результаты становятся совершенно неприемлемыми.

Как правило, чтобы ликвидировать большую погрешность результатов, необходимо выполнить проверку обусловленности матрицы коэффициентов. Матрица считается плохо обусловленной, если определитель матрицы много меньше оценки Адамара Dмакс :