60

точности. К итерационным методам относится метод простой итерации, метод Зейделя, градиентные методы.

4.3.Решение уравнений состояния методом Гаусса

Воснове практически всех прямых методов решения линейных систем -ал гебраических уравнений установившихся режимов электрических систем лежит метод Гаусса или его модификации.

4.3.1. Метод Гаусса с обратным ходом

Это наиболее рациональный и распространенный метод решения систем уравнений произвольного порядка, реализующий последовательное исключение переменных и затем последующую подстановку для получения решений.

Решение системы n алгебраических уравнений вида

AX = в

по данному алгоритму состоит из двух этапов. На первом этапе в результате преобразований, заключающихся в исключении всех неизвестных, расположенных ниже главной диагонали, матрица коэффициентов А превращается в верхнюю треугольную, а последнее уравнение оказывается разрешенным относительно неизвестного. На втором этапе определяются все неизвестные системы уравнений.

Рассмотрим применение метода Гаусса на примере системы из трех уравне-

ний:

При исключении по методу Гаусса применяется стандартная операция, которая позволяет упорядочить исключение и получить удобный алгоритм для реализации этого метода на ЭВМ.

Решение состоит в том, что на каждом шаге преобразования системы (число шагов равно (n -1), где n - порядок решаемой системы) исключается одна из переменных из всех нижестоящих уравнений системы. Особенностью метода является то, что для проведения операции исключения на каждом шаге используется главный диагональный элемент, каковым является коэффициент при исключаемом неизвестном в главном уравнении, т.е. в уравнении, в котором это неизвестное остается.

Так как главный диагональный элемент входит в коэффициент преобразования в знаменателе, то обязательным условием возможности применения этого метода является неравенство нулю главного диагонального элемента на каждом шаге преобразований. Если все же он оказался равным нулю, то перед выполнением

62

На этом заканчивается первый этап решения(прямой ход), так как все коэффициенты ниже главной диагонали нулевые.

Обратный ход (второй этап, процесс подстановки):

Для данного метода может быть использована модификация – преобразуются не только ниже стоящие уравнения по отношению к главному, но и само глав-

ное уравнение. В этом случае главный диагональный элемент превращается в единицу.

Рассмотренная последовательность выполнения операций достаточно легко реализуется с помощью ЭВМ.

4.3.2.Метод Гаусса без обратного хода (метод Жордана)

Вотличие от метода Гаусса с обратным ходом, метод Гаусса без обратного хода в процессе реализации прямого хода решения разрешает систему относительно неизвестных, то есть уже к концу прямого хода фактически получается решение системы уравнений, и нет необходимости в обратной подстановке. Реализация этого метода совершенно аналогична методу Гаусса с обратным ходом. Отличие состоит лишь в том, что операции по исключению неизвестных ведутся не только с элементами, стоящими ниже диагонали, но и с элементами, стоящими выше диагонали.

Как и в методе Гаусса с обратным ходом, необходимым условием является неравенство нулю главного диагонального элемента.

Рассмотрим данный метод на примере решения системы из трех уравнений

(4.1):

a11x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2

a31x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 .

Первый шаг. Определим коэффициенты преобразований для второго и третьего уравнений: