55

- матрица узловых проводимостей Yу симметрична относительно главной

диагонали и содержит большое количество нулевых элементов; оба эти обстоятельства позволяют повысить эффективность решения систем уравнений;

- диагональные элементы матрицы Yу обычно превышают по абсолютной

величине недиагональные элементы, что способствует повышению точности вычислений при использовании численных методов;

- так как матрица Yу является квадратной и неособенной, то для нее может быть найдена обратная матрица Yу-1 , что можно использовать для многократного

решения системы уравнений при итерационных способах; - матричная форма записи уравнений узловых напряжений имеет опреде-

ленные преимущества по сравнению с аналитической формой записи, т.к. позволяет учесть не только собственные сопротивления ветвей, но и взаимные (отражающие взаимоиндукцию между ветвями). Механизм учета заложен в использовании общей формы матрицы Zв , в диагонали которой находятся собственные сопротивления ветвей, а недиагональными элементами могут быть взаимные сопротивления; при формальном обращении матрицы Zв автоматически учитываются взаимные сопротивления, что может способствовать линеаризации решения некоторых уравнений.

3.3. Уравнение контурных токов

Как и в аналитической форме, уравнения контурных токов в матричной форме выводятся на основании уравнений второго закона Кирхгофа, записанных для замкнутых контуров. Их использование также позволяет снизить порядок системы решаемых уравнений по сравнению с использованием системы обобщенных уравнений состояния.

Как было показано выше, удобно пользоваться системой базисных контуров. Будем считать, что независимые контуры выбраны как базисные, и запишем для этого случая уравнение второго закона Кирхгофа:

NUв = 0.

Учитывая, что

Uв = ZвIв - Eв и Nв × Eв = Ек ,

получим

NZв Iв = Eк .

Подставив выражение (2.51) в записанное уравнение, получим:

éM-1 ù

NZв ê a ú × I у + NZвNt Iвb = Ек . (3.8)

ë 0 û

éM-1 ù

Zк Iк = Eк - NZв ê a ú ×I у . (3.10)

ë 0 û

Таким образом, выражения (3.9) и (3.10) отвечают матричной форме записи уравнений контурных токов.

Если в схеме отсутствуют источники токов, то уравнение приобретает более простой вид:

Матрица Zк представляет собой симметричную матрицу, в диагонали которой расположены собственные сопротивления контуров, определяемые суммированием сопротивлений ветвей, входящих в данный контур, а недиагональные элементы представляют собой взаимные сопротивления контуров (сопротивления, по которым контурные токи протекают совместно), входящие в матрицу со знаком “+”, если контурные токи при обтекании рассматриваемой взаимной ветви имеют одинаковые направления и со знаком“-”, если контурные токи имеют разное направление в пределах данной ветви.

Так как Zк - симметрична и в общем случае является разряженной, то для нее справедливы те же самые положения, что и для матрицы Yу , т.е. возможность

компактного хранения в ЭВМ и повышение эффективности решения уравнений. Как видно из сопоставления двух форм записи уравнений, с учетом токов

узлов и без учета токов узлов, наиболее рационально использование уравнений контурных токов, когда в схеме отсутствуют задающие токи, .к. в противном случае приходится формировать матрицу дерева и обращать ее.

Тем не менее, это только внешний факт упрощения, т.к. для сложной схемы, чтобы получить Zк , необходимо применить алгоритм формализованного получения матрицы N, а эта операция также связана с необходимостью выделения -ба зисных контуров путем выделения дерева и хорд схемы.

Таким образом, уравнение контурных токов обладает тем же самым недостатком, что и обобщенное уравнение состояния, хотя порядок системы уравнений в этом случае оказывается значительно меньше.

Так как, Zк - квадратная и неособенная матрица, то для нее может быть

найдена обратная, и решение уравнения может быть записано в виде:

Iк = Z-к1Eк ,

что в случае решения нелинейных задач может быть использовано для рационального построения итерационных процессов.

57

3.4. Обобщенные параметры схем электрических систем

Преобразования уравнений состояния сложных схем показывают, что наряду с “натуральными” параметрами, собственными и взаимными сопротивлениями ветвей, которые входят в матрицу сопротивлений ветвейZв , часто применяют обобщенные параметры.

Обобщенные параметры входят, например, в следующие матрицы: узловых проводимостей Yу , узловых сопротивлений Z у , контурных проводимостей Yк ,

коэффициентов распределения задающих токов С р и т.д.

Эти матрицы характеризуют свойства схемы в целом, не отражая отдельных параметров схемы. Следовательно, по обобщенным параметрам нельзя восстановить схему, так как одним и тем же обобщенным параметрам могут соответствовать разные схемы. Обобщенными параметрами могут быть не только пассивные, но и активные параметры, например, контурные э.д.с. Ек .

Если рассмотреть обобщенное уравнение состояния(3.4), уравнение узловых напряжений (3.6) и уравнение контурных токов(3.10), то, разрешая их относительно неизвестных, нетрудно получить следующие выражения:

Сравнивая выражения (3.12), (3.13), (3.14) можно отметить, что при определении токов ветвей, напряжений узлов и токов контуров в общем случае уравнения состоят из двух частей: первая часть определяет влияние токов в узлах на режим сети, вторая – влияние источников э.д.с. ветвей.

При линейности схемы каждая из этих задач может решаться отдельно, а результат можно найти суммированием полученных решений в каждой из задач. В этом состоит суть метода наложения.

Константы, связывающие в каждом из уравнений(3.12) – (3.14) вынуждающие силы ( I у , Ек ) с неизвестными параметрами режима ( Iв ,UD , I к ), также как и

Z у и Yк являются обобщенными характеристиками схемы электрической сети.

58

4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ

4.1. Линейные и нелинейные уравнения состояния

Основной задачей расчета режимов работы электрических систем и сетей (нормальных, аварийных, послеаварийных) является определение мощностей, токов, напряжений (а также их углов). При этом в математическом плане можно выделить два тип задач:

-линейные задачи, в которых все коэффициенты систем уравнений, связанные с характеристикой пассивных элементов сети(сопротивления, проводимости), и связанные с характеристиками вынуждающих сил(источники токов, ЭДС) имеют постоянную величину. Для решения таких задач применяются методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

-нелинейные задачи, связанные с решением нелинейных систем уравнений. Нелинейность систем уравнений может быть обусловлена нелинейностью пассивных элементов сети, например, зависимостью индуктивных сопротивлений от напряжения, или нелинейностью вынуждающих сил; например, зависимостью источников токов в узлах, отражающих действие нагрузок и генераторов в схеме, от напряжения узлов. На современном уровне развития математики решение таких задач требует привлечения итерационных способов, например, метода Ньютона, метода внешней итерации и т.д.

Обычно при решении задач расчета установившихся режимов работы электрических систем нелинейностью пассивных элементов пренебрегают, полагая, что в диапазоне рассчитываемых величин напряжений они остаются неизменными.

Таким образом, основная нелинейность системы уравнений может быть связана с нелинейностью вынуждающих сил.

4.2. Особенности систем линейных уравнений и методы их решения

Линейные алгебраические уравнения, используемые для расчета установившихся режимов электрических систем, имеют следующие особенности:

-в большинстве случаев матрица коэффициентов системы уравнений является слабо заполненной, т.е. имеет большое количество нулевых элементов; на-

пример, число ненулевых элементов в матрице узловых проводимостей для сложных схем с большим количеством узлов составляет примерно4n, т.е. n2 – 4n элементов этой матрицы равны нулю, поскольку не все узлы имеют непосредственную связь между собой;

-диагональные элементы матрицы коэффициентов не равны нулю и обычно по абсолютной величине превосходят недиагональные элементы соответст-

59

вующей строки и столбца; это способствует повышению сходимости при использовании итерационных процессов;

-при использовании уравнений узловых напряжений и уравнений контурных токов матрица коэффициентов системы симметрична относительно главной диагонали.

Учет этих особенностей при реализации вычислительных методов позволяет значительно повысить эффективность процесса получения решения за счет исключения операций с нулевыми элементами и уменьшения требуемой оперативной памяти ЭВМ и времени расчета.

Важным моментом, определяющим возможность решения линейной системы уравнений и достоверность этого решения, является хорошая обусловленность матрицы ее коэффициентов. Если матрица коэффициентов плохо обусловлена (т.е. определитель этой матрицы стремится к нулю), то система может иметь бесконечное множество решений или может иметь решения, не отвечающие физической сути задачи, а в некоторых случаях при применении итерационных методов может вообще не давать решений(процесс итерации не сходится). Обычно такая ситуация возникает, когда при составлении уравнений либо имеют место большие погрешности в задании исходной информации, либо имеют место ошибки в составлении математической модели процесса, либо система уравнений не отвечает физике рассматриваемого явления.

В дальнейшем будем полагать, что во всех рассматриваемых нами задачах системы уравнений состояния для нормального режима работы сети имеют хорошо обусловленную матрицу коэффициентов, и для них могут быть применены традиционные численные методы решения и могут быть получены обратные матрицы.

Современные методы решения систем алгебраических уравнений можно разделить на две группы:

-прямые (точные) методы (дают решение системы за конечное число арифметических операций);

-итерационные (приближенные) методы.

Среди точных методов также можно выделить две группы:

-к первой группе относятся метод Гаусса с обратным ходом, метод Гаусса без обратного хода (метод Жордана - Гаусса) и их модификации; по сути эти методы реализуют известный принцип исключения переменных;

-ко второй группе относятся методы, использующие для решения системы уравнений обратные матрицы коэффициентов. Наиболее часто они применяются, когда обратная матрица используется многократно, или когда обратная матрица может быть получена на основании анализа топологии сети без трудоемкой операции обращения.

Итерационные методы дают решение системы как предел последовательных приближений к точному решению, которое задается коэффициентом точности, определяющим разность между точным решением и его приближенным значением, удовлетворяющим расчетчиков. Таким образом, итерационным способом нельзя получить точное решение, а только приближенное с заданной степенью