Студентам_информатика / Лабораторные по информатике / Word_Вариант_8

Содержание

Введение.............................................................................................................

3

1

Численное решение уравнений................................................................

4

1.1

Метод простой итерации (последовательных приближений) ............

4

1.2

Геометрический смысл итерационного процесса................................

5

1.3

Алгоритм метода итераций ....................................................................

5

Заключение ........................................................................................................

7

Список литературы ...........................................................................................

8

1308.5011ХХ.000ПЗ

Изм.

№ докум. Подп.

Лист

Дата

Разраб.

ФИО студента

Лит.

Лист

Листов

Пров.

Выполнение индивидуального задания в

Д

8

Рецен.

MS Word

УГАТУ ХХХ 1

Н контр

ФИО препод.

. .

Утв.

Стиль Заголовок 1

Введение

Стиль Основной_ПЗ

В научных исследованиях и инженерном проектировании часто приходится

решать уравнения вида

Название

f ( x) = 0 .

(1)

Задачи этого типа могут возникать сами по себе или же составлять часть

более сложных исследований.

Пример. Требуется определить величину критической силы действующей на

стержень, один конец которого закреплен, а другой может перемещаться в

вертикальном направлении.

Из физики известно, что критическая сила в этом случае определяется

уравнением

P

L =

P

(2)

tg

L ,

EI

EI

и решение задачи сводится к решению уравнения (1).

Возможности аналитического решения уравнений являются достаточно

ограниченными. Поэтому для нахождения корней уравнений привлекаются

методы приближенных (численных) вычислений с заданной степенью точности

[1].

Перекрестная ссылка

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

3

Стиль Заголовок 1

1

Численное решение уравнений

Для вычисления корня уравнения (1) существует множество приближенных

методов. Все они вычисляют значение корня уравнения с заданной степенью

точности ε = 10 −n .

Стиль Заголовок 2

1.1 Метод простой итерации (последовательных приближений)

При изложении методов численного решения уравнений считается, что уже

известен отрезок [a, b], внутри которого существует один и только один корень.

Идея метода простой итерации заключается в следующем.

Уравнение f ( x) = 0

заменяется равносильным уравнением

x = ϕ( x) .

(1.1)

Предполагается,

что известно грубое приближенное значение корня x0 .

Новое приближение корня вычисляется путем подстановки его в правую часть

уравнения (1.1)

x1 = ϕ( x0 ) .

(1.2)

Таким образом, каждое следующее приближение корня вычисляется через

его предыдущее значение, которое подставляется в правую часть равенства (1.1).

В результате повторения этого процесса образуется последовательность

найденных приближений корня

xn = ϕ( xn −1 ), n = 1,2,... .

(1.3)

При условии, что полученная последовательность сходится, а функция ϕ( x)

непрерывна,

можно утверждать, что точка c = lim xn является корнем уравнения

n→∞

(1), который может быть вычислен по формуле (1.3) с любой степенью точности.

Процесс решения считается завершенным, если два последовательных

приближения xn и xn−1 совпадают с заданной точностью ε , т.е. xn − xn −1 < ε .

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

4

Для того, чтобы выполнялось условие сходимости итерационного процесса,

функцию ϕ( x)

подбирают таким образом, чтобы для всех точек интервала [a, b]

выполнялось условие:

ϕ′( x) ≤ q < 1,

(1.4)

в противном случае процесс окажется расходящимся.

Стиль Заголовок 2

1.2 Геометрический смысл метода простой итерации

Рисунок 1.1 представляет графики двух функций y = x и y = ϕ( x) . Корнем

уравнения

f ( x) = 0

является абсцисса точки пересечения

кривой

y = ϕ( x) с

прямой y = x .

Перекрестная

ссылка

Название

Рисунок 1.1 – Графическая интерпретация метода простой итерации

Стиль Заголовок 2

1.3 Алгоритм метода простой итерации

Рисунок 1.2 представляет блок-схему алгоритма метода простой итерации.

Перекрестная ссылка

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

5

Название

Перекрестная

Рисунок 1.2 – Блок-схема алгоритма метода простой итерации

ссылка

Ниже (таблица 1.1) приведены результаты пошагового вычисления корня

уравнения x − sin(x) − 0,25 = 0 на отрезке [1; 2] методом простой итерации1.

Таблица 1.1

Название

Сноска

№ шага

1

2

3

4

x

1,0915

1,1373

1,1575

1,1658

f ( x)

0,0458

0,0202

0,0083

0,0033

1Вычисления проводились с точностью 0,01

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

6

Стиль Заголовок 1

Заключение

Успех метода простой итерации зависит от того, насколько удачно выбрана

функция ϕ( x) . При удачном выборе функции метод сходится при любом

начальном приближении x0 из промежутка [a, b]. Это свойство делает этот метод

одним из самых надежных вычислительных методов.

Метод простых итерации и почти все другие итерационные методы имеют

важное достоинство: в них не накапливаются ошибки вычислений. Ошибка

вычислений эквивалентна некоторому ухудшению очередного приближения. Но

это отразится только на числе итераций, а не на точности окончательного

результата.

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

7

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

8