Студентам_информатика / Лабораторные по информатике / Word_Вариант_4
.pdf
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет
Кафедра Информатики
100 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
90
80
70
60
50
40
30
20
10
Выполнение индивидуального задания
в MS Word
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
к лабораторной работе по информатике
1308.5011ХХ.000ПЗ
(обозначение документа)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Группа |
|
ХХХ |
|
Фамилия, И., О. |
Подпись |
Дата |
Оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Студент |
|
|
ХХХХХХХХХ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Консультант |
|
|
ХХХХХХХХХ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Принял |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уфа 2012 г.
|
Содержание |
|
Введение............................................................................................................. |
3 |
|
1 |
Численное интегрирование...................................................................... |
4 |
1.1 |
Интегрирование по методу Симпсона (метод парабол) ...................... |
4 |
1.2 |
Алгоритм метода Симпсона................................................................... |
5 |
Заключение ........................................................................................................ |
7 |
|
Список литературы ........................................................................................... |
8 |
|
|
|
|
|
1308.5011ХХ.000ПЗ |
||||||
|
|
|
|
|||||||
Изм. |
|
№ докум. Подп. |
|
|||||||
Лист |
Дата |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разраб. |
ФИО студента |
|
|
Лит. |
|
Лист |
Листов |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пров. |
|
|
Выполнение индивидуального задания в |
|
Д |
|
|
|
8 |
|
Рецен. |
|
|
MS Word |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
УГАТУ ХХХ 1 |
||
Н контр |
ФИО препод. |
|
|
|
|
|
||||
. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Утв. |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стиль Заголовок 1 |
|
|
|
|
Введение |
|
|
|
|
|
|
|
Инженеру часто приходится вычислять значения определенного интеграла: |
||||||
при анализе инженерных и научных данных, для оценки показателей качества |
|||||||
работы технических объектов и систем, входные и выходные переменные |
|||||||
которых изменяются во времени или пространстве и др. |
Стиль Основной_ПЗ |
||||||
|
Пусть |
дана функция |
f ( x) , которая непрерывна на интервале |
[a, b] и |
|||
определена ее первообразная F ( x) , тогда определенный интеграл |
можно |
||||||
вычислить по формуле Ньютона-Лейбница |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Название |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) , |
|
(1) |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
где |
′ |
|
|
|
|
|
|
F ( x) = f ( x) . |
|
|
|
|
|
||
|
Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что |
|
|||||
значение определенного интеграла |
|
|
|
||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
y = ∫ f ( x)dx, |
f ( x) ≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
равно площади криволинейной трапеции с основаниями [a, b] и f ( x) . |
|
||||||
Изм. |
№ докум. |
Подп. |
Дата |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
1 Численное интегрирование 
Стиль Заголовок 1
На практике чаще всего встречаются интегралы, которые вычислить по формуле. В этом случае приходится прибегать к приближенному вычислению
интегралов численными методами [1]. |
|
Перекрестная ссылка |
|
|||||
|
Интегрирование численными методами предполагает, что интервал |
|||||||
интегрирования [a, b] делится точками |
x0 , x1,K, xn на n равных частей, причем |
|||||||
x |
= a, x |
|
= b , длина каждой части |
составляет h = |
b − a |
. Из каждой точки |
||
n |
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
n |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
xi |
= x0 + i h, i = 1,K, n − 1 проводится перпендикуляр до пересечения с кривой |
|||||||
y = f ( x) , получается, что большая криволинейная трапеция разбивается на n
маленьких (рисунок 1.1).
Перекрестная
ссылка
Название
Рисунок 1.1 – Интерпретация численного интегрирования
1.1 Интегрирование по методу Симпсона (метод парабол) |
|
|||||
Идея метода Симпсона (парабол) заключается в следующем. Отрезок |
||||||
интегрирования |
разбивается |
на |
четное |
число |
частей |
точками |
Стиль Заголовок 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изм. |
|
№ докум. |
Подп. |
Дата |
4 |
|
|
|
|
|
|||||
a = x0 < x1 < K <
(x0 , y0 ), (x1, y1 ),
Площадь
x2n −1 < x2n = b . Далее через три точки кривой с координатами
(x2 , y2 ) проводится парабола с осью, параллельной оси Oy.
криволинейной трапеции, ограниченной параболой,
y = Ax 2 + Bx + C равна
x2 |
− x0 |
[2 A (x02 + x0 x2 + x22 )+ 3B ( x0 + x2 ) + 6 C ]. . |
|
|
∫ f ( x)dx ≈ |
x2 |
(1.1) |
||
|
6 |
|||
x0 |
|
|
||
|
|
|
||
Неизвестные коэффициенты A, B, C находятся из условия, что при значениях x равных x0, x1, x2, функция f(x) принимает соответственно значения
y0, y1, y2. После преобразований получим
|
x 2 |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
||
|
|
∫ |
f ( x)dx ≈ |
( y0 + 4 y1 + y2 ) . |
|
|
(1.2) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Суммируя равенства вида (1.2) по всем участкам получим |
|
|||||||||||
b |
|
|
b − a |
|
|
|
N −1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ f ( x)dx ≈ |
|
|
|
|
+ y N |
+ ∑ (3 + (−1) |
i−1 |
|
(1.3) |
|||
|
|
|
y0 |
|
) yi . |
|||||||
a |
|
|
|
3N |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
Это и есть формула Симпсона. Ее называют также формулой парабол.
1.2 Алгоритм метода Симпсона |
|
|
||
Алгоритм |
метода |
Симпсона |
представлен |
блок-схемой |
(рисунок 1.2).
Перекрестная
ссылка
|
|
|
|
|
|
|
Изм. |
|
№ докум. |
Подп. |
Дата |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Название |
Перекрестная |
|
|
Рисунок 1.2 – Блок-схема алгоритма метода Симпсона |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ссылка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ниже |
|
(таблица |
1.1) |
приведены |
результаты |
численного |
вычисления |
|||
|
|
4 |
|
2 |
x dx |
|
|
|
|
|
|
интеграла |
∫ ln |
x |
методом |
Симпсона (при шаге |
разбиения |
10) и, для |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сравнения, – значение интеграла, вычисленного по формуле (1). |
|
||||||||||
|
Таблица 1.1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сноска |
|
|
|
|
|
|
Метод |
|
Результат |
|
||
Название |
|
|
|
Ньютон-Лейбниц |
|
0.888065738637151 |
|
||||
|
|
|
|
Симпсона |
|
|
0.888067817687988 |
|
|||
1 Результат получен в пакете MathCAD |
|
|
|
|
|
||||||
Изм. |
№ докум. |
|
|
Подп. |
Дата |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Стиль Заголовок 1 |
|||
|
Заключение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
x dx дает очень хороший |
|
Метод Симпсона для вычисления интеграла ∫ ln |
x |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
результат (таблица 1.1). Очевидно, что при уменьшении шага разбиения отрезка |
|||||||
интегрирования точность вычисления по методу возрастет. |
|||||||
|
Метод |
Симпсона является |
более точным |
по |
сравнению с методами |
||
прямоугольников и трапеций. Формула Симпсона дает меньшие абсолютную и |
|||||||
относительную погрешности при одинаковом шаге разбиения. |
|||||||
|
|
|
|
Перекрестная |
|
|
|
|
|
|
|
ссылка |
|
|
|
Изм. |
№ докум. |
Подп. |
Дата |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
||||
Стиль Заголовок 1
Список литературы
1.Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука, 1972. 366 с.
2.Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах MathCad 12, MatLab 7, Maple 9. М.: НТ Пресс, 2006. 496 с.
Нумерованный список
|
|
|
|
|
|
|
Изм. |
|
№ докум. |
Подп. |
Дата |
8 |
|
|
|
|