Студентам_информатика / Лабораторные по информатике / Word_Вариант_7
.pdf
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет
Кафедра Информатики
100 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
90
80
70
60
50
40
30
20
10
Выполнение индивидуального задания
в MS Word
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
к лабораторной работе по информатике
1308.5011ХХ.000ПЗ
(обозначение документа)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Группа |
|
ХХХ |
|
Фамилия, И., О. |
Подпись |
Дата |
Оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Студент |
|
|
ХХХХХХХХХ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Консультант |
|
|
ХХХХХХХХХ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Принял |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уфа 2012 г.
|
Содержание |
|
Введение............................................................................................................. |
3 |
|
1 |
Численное решение уравнений................................................................ |
4 |
1.1 |
Метод касательных.................................................................................. |
4 |
1.2 |
Алгоритм метода касательных............................................................... |
5 |
Заключение ........................................................................................................ |
6 |
|
Список литературы ........................................................................................... |
8 |
|
|
|
|
|
1308.5011ХХ.000ПЗ |
||||||
|
|
|
|
|||||||
Изм. |
|
№ докум. Подп. |
|
|||||||
Лист |
Дата |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разраб. |
ФИО студента |
|
|
Лит. |
|
Лист |
Листов |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пров. |
|
|
Выполнение индивидуального задания в |
|
Д |
|
|
|
8 |
|
Рецен. |
|
|
MS Word |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
УГАТУ ХХХ 1 |
||
Н контр |
ФИО препод. |
|
|
|
|
|
||||
. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Утв. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стиль Заголовок 1 |
|
|
Введение |
|
|
|
|
|
|
В научных исследованиях и инженерном проектировании часто приходится |
|||||
решать уравнения вида |
|
|
|
Стиль Основной_ПЗ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) = 0 . |
|
|
Задачи |
этого типа могут возникать сами по себе или же составлять часть |
||||
более сложных исследований. |
|
|
|
|||
Пример. В некоторой цепи значение сопротивления нагрузки в зависимости от |
||||||
времени изменяется по закону |
|
|
|
|||
|
|
|
R(t ) = R |
0 |
(sin 2 (2t ) + cos3 (t ))2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить момента короткого замыкания на заданном временном промежутке. |
||||||
|
Задача сводится к нахождению значения времени t, при котором R(t ) → 0 , |
|||||
т.е. к решению уравнения |
|
|
|
|||
|
|
|
R (sin 2 (2t ) + cos3 (t ))2 |
= 0 |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
с заданной степенью точности. |
|
|
|
|||
|
Возможности аналитического решения уравнений являются достаточно |
|||||
ограниченными. Поэтому для нахождения корней уравнений привлекаются |
||||||
методы приближенных (численных) вычислений с заданной степенью точности |
||||||
[1]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Перекрестная ссылка |
|
|||
Изм. |
№ докум. |
Подп. |
Дата |
|
|
3 |
|
|
|
||||
Стиль Заголовок 1
1 Численное решение уравнений
Для вычисления корня уравнения f ( x) = 0 существует множество
приближенных методов. Все они вычисляют значение корня уравнения с
заданной |
степенью точности ε = 10 −n . Решение |
задачи отыскания корней |
|
уравнения |
f ( x) = 0 разбивается на два этапа: |
|
|
Нумерованный список |
|
||
|
|
|
|
1.отделение (локализация) корней, т.е. отыскание достаточно малых областей,
в каждой из которых заключен один и только один корень уравнения;
2.вычисление выделенного корня с заданной точностью.
1.1Метод Ньютона (касательных)
Стиль Заголовок 2
Перекрестная
ссылка
Идея метода касательных состоит в следующем (рисунок 1.1). Возьмем некоторую точку x0 , участка [a, b], например, x0 = b и проведем касательную к графику функции в точке ( x0 , f ( x0 )) . Уравнение касательной в точке ( x0 , f ( x0 ))
имеет вид: |
Название |
|
y − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ( x − x0 ) . |
|
(1.1) |
В качестве начального приближения корня уравнения принимается абсцисса точки пересечения этой касательной оси Ох. Полагая в уравнении касательной y = 0 , можно найти абсциссу точки пересечения
x = x0 − |
|
f ( x0 ) |
|
||
|
|
|
. |
(1.2) |
|
|
′ |
|
|||
|
|
f ( x0 ) |
|
||
Это значение можно принять |
за |
следующее приближение |
x1 . Далее |
||
касательная проводится через точку ( x1 , f ( x1 )) , абсцисса пересечения которой с осью Ох даст второе приближение корня x2 , и так далее, пока не будет достигнута точность ε , т.е. пока не выполнится f ( xn ) ≤ ε .
|
|
|
|
|
|
|
Изм. |
|
№ докум. |
Подп. |
Дата |
4 |
|
|
|
|
Название
Рисунок 1.1 – Графическая интерпретация метода касательных
Стиль Заголовок 2
1.2 Алгоритм метода касательных
Алгоритм, реализующий метод касательных, можно представить так:
1. Определяется начальное приближение: если |
( ) |
f |
′′( |
) |
> 0 |
, |
то начальное |
f a |
a |
|
|||||
приближение x0 = a , иначе x0 = b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нумерованный список |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Уточняется значение корня по формуле 1.2.
3.Если абсолютное значение функции в найденной точке не превышает некоторое достаточно малое число ε , то найден корень с точностью ε , иначе возврат к п.2.
Рисунок 1.2 представляет блок-схему алгоритма метода касательных.
Перекрестная ссылка
|
|
|
|
|
|
|
Изм. |
|
№ докум. |
Подп. |
Дата |
5 |
|
|
|
|
Название
Перекрестная |
|
ссылка |
Рисунок 1.2 – Блок-схема алгоритма метода касательных |
|
Ниже (таблица 1.1) приведены результаты пошагового вычисления корня уравнения x − sin(x) − 0,25 = 0 на отрезке [1;2] методом касательных1.
Таблица 1.1 |
|
Название |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Сноска |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ шага |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1,4063 |
|
1,2033 |
1,1719 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) |
|
0,1698 |
|
0,0200 |
0,0005 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Вычисления проводились с точностью 0,01
|
|
|
|
|
|
|
Изм. |
|
№ докум. |
Подп. |
Дата |
6 |
|
|
|
|
Стиль Заголовок 1
Заключение
Метод касательных удобен, когда в окрестности данного корня график функции имеет большую кривизну. Но если кривая вблизи точки пересечения с осью почти горизонтальна, применять метод Ньютона не рекомендуется.
Если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню, метод дает хорошую точность и быструю сходимость, что делает его очень привлекательным. К недостаткам метода можно отнести необходимость вычисления первой и второй производной функции.
|
|
|
|
|
|
|
Изм. |
|
№ докум. |
Подп. |
Дата |
7 |
|
|
|
|
Стиль Заголовок 1
Список литературы
1.Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука, 1972. 366 с.
2.Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах MathCad 12, MatLab 7, Maple 9. М.: НТ Пресс, 2006. 496 с.
Нумерованный список
|
|
|
|
|
|
|
Изм. |
|
№ докум. |
Подп. |
Дата |
8 |
|
|
|
|