Студентам_информатика / Лабораторные по информатике / Word_Вариант_1

Содержание

Введение.............................................................................................................

3

1

Численное интегрирование......................................................................

4

1.1

Интегрирование по методу левых прямоугольников..........................

4

1.2

Алгоритм метода левых прямоугольников...........................................

5

Заключение ........................................................................................................

7

Список литературы ...........................................................................................

8

1308.5011ХХ.000ПЗ

Изм.

№ докум. Подп.

Лист

Дата

Разраб.

ФИО студента

Лит.

Лист

Листов

Пров.

Выполнение индивидуального задания в

Д

8

Рецен.

MS Word

УГАТУ ХХХ 1

Н контр

ФИО препод.

. .

Утв.

Стиль Заголовок 1

Введение

Для того чтобы уметь решать конкретные задачи на компьютере,

недостаточно уметь правильно писать операторы на каком-либо языке

программирования. Необходимо, прежде всего, знать алгоритмы и методы их

решения.

Стиль Основной_ПЗ

Инженеру часто приходится вычислять значения определенного интеграла:

при анализе инженерных и научных данных, для оценки показателей качества

работы технических объектов и систем, входные и выходные переменные

которых изменяются во времени или пространстве и др.

Пусть

дана функция

f ( x) , которая непрерывна на интервале

[a, b] и

определена ее первообразная F ( x) , тогда определенный интеграл

можно

вычислить по формуле Ньютона-Лейбница

Название

b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) ,

(1)

a

где

′

F ( x) = f ( x) .

Пример. Рассчитать заряд протекшего через проводник тока за указанный

промежуток времени.

Построим математическую модель задачи. Заряд, протекший через

поперечное сечение проводника за время с момента t0

до tk равен

t k

Q = ∫ I (t )

dt ,

(2)

t0

где I(t) – заданный закон изменения силы тока в цепи.

Следовательно, эта задача свелась к вычислению интеграла (2).

3

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

3

Стиль Заголовок 1

1

Численное интегрирование

На практике чаще встречаются интегралы с первообразной, которая не

может быть выражена через элементарные функции или является слишком

сложной, что делает невозможным вычисление значения определенного

интеграла по формуле (1). В этом случае приходится прибегать к приближенному

вычислению интегралов численными методами [1].

Перекрестная ссылка

Интегрирование численными методами предполагает, что интервал

интегрирования [a, b] делится точками x0 , x1,K, xn

на n равных частей, причем

x

= a,

x

n

= b , длина

каждой части составляет

h = b − a . Из каждой точки

0

n

xi

= x0 + i h,

i = 1,K, n − 1 проводится перпендикуляр до пересечения с кривой

y = f ( x) , получается, что большая криволинейная трапеция разбивается на n

маленьких.

Стиль Заголовок 2

1.1 Интегрирование по методу левых прямоугольников

Идея численного интегрирования методом прямоугольников заключается в

том, что для каждой маленькой трапеции отрезок кривой подинтегральной

функции заменяется прямой параллельной оси абсцисс, т.е. маленькая

криволинейная трапеция заменяется прямоугольником. Площадь полученной

фигуры можно найти как сумму площадей прямоугольников, стороны которых

равны h и yi.. Площадь отдельного прямоугольника составит Si = yi h .

Для метода левых прямоугольников построение начинается слева на право

(рисунок 1.1), т.е. от точки x0 до точки xn-1 тогда

b

S = ∫ f ( x)dx = y0h + y1h + L + yn −1h = h ( f ( x0 ) + f ( x1) + L + f ( xn−1)) .

a

Формулу численного вычисления определенного интеграла можно записать

в виде

Перекрестная

ссылка

4

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

4

b

n−1

I = ∫ f ( x)dx ≈ h ∑ f ( xi ) .

(1.1)

a

i=0

5

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

5

Перекрестная

ссылка

Ниже

(таблица

1.1)

приведены

результаты

численного

вычисления

4

интеграла ∫ ln 2 x dx методом левых прямоугольников (при шаге разбиения 10) и,

1

x

для сравнения, – значение интеграла, вычисленное по формуле (1).

Название

Таблица 1.1

Метод

Результат

Сноска

Ньютон-Лейбниц

0.888065738637151

Левых Прямоугольников

0.852123212814331

1 Результат получен в пакете MathCAD

6

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

6

Стиль Заголовок 1

Заключение

4

2 x dx дает

Метод левых прямоугольников для вычисления интеграла ∫ ln

1

x

результат с недостатком (таблица 1.1). Очевидно, что при уменьшении шага

разбиения отрезка интегрирования точность вычисления по методу возрастет.

Перекрестная

ссылка

7

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

7

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

8