Студентам_информатика / Лабораторные по информатике / Word_Вариант_3

Содержание

Введение.............................................................................................................

3

1

Численное интегрирование......................................................................

4

1.1

Интегрирование по методу трапеций....................................................

4

1.2

Алгоритм метода трапеций ....................................................................

5

Заключение ........................................................................................................

7

Список литературы ...........................................................................................

8

1308.5011ХХ.000ПЗ

Изм.

№ докум. Подп.

Лист

Дата

Разраб.

ФИО студента

Лит.

Лист

Листов

Пров.

Выполнение индивидуального задания в

Д

8

Рецен.

MS Word

УГАТУ ХХХ 1

Н контр

ФИО препод.

. .

Утв.

Стиль Заголовок 1

Введение

Инженеру часто приходится вычислять значения определенного интеграла:

при анализе инженерных и научных данных, для оценки показателей качества

работы технических объектов и систем, входные и выходные переменные

которых изменяются во времени или пространстве и др.

Стиль Основной_ПЗ

Пусть дана функция

f ( x) , которая непрерывна на интервале

[a, b] и

определена ее первообразная F ( x) , тогда определенный интеграл

можно

вычислить по формуле Ньютона-Лейбница

Название

b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) ,

(1)

a

где

′

( x) .

F ( x) = f

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что

значение определенного интеграла

b

y = ∫ f ( x)dx,

f ( x) ≥ 0

a

равно площади криволинейной трапеции с основаниями [a, b] и f ( x) .

Пример. Определить массу вещества, выделившегося на электроде в процессе

электролиза.

Масса вещества, выделившегося в процессе электролиза за промежуток

времени с t0 до tk согласно закону Фарадея

tk

m = K ∫ I (t )

dt ,

(2)

t0

где K – электрохимический эквивалент;

I(t) – заданный закон изменения силы тока.

Задача свелась к вычислению интеграла (2).

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

3

Стиль Заголовок 1

1

Численное интегрирование

На практике чаще встречаются интегралы с первообразной, которая не

может быть выражена через элементарные функции или является слишком

сложной, что делает невозможным вычисление значения определенного

интеграла по формуле (1). В этом случае приходится прибегать к приближенному

вычислению интегралов численными методами [1].

Перекрестная ссылка

Интегрирование численными методами предполагает, что интервал

интегрирования [a, b] делится точками x0 , x1,K, xn

на n равных частей, причем

x

= a, x

n

= b ,

длина

каждой

части

составляет

h = b − a .

Из

каждой точки

0

n

xi

= x0 + i h,

i = 1,K, n − 1

проводится перпендикуляр до пересечения с кривой

y = f ( x) , получается, что большая криволинейная трапеция разбивается на n

маленьких.

Стиль Заголовок 2

1.1 Интегрирование по методу трапеций

Идея численного интегрирования методом трапеций заключается в том, что

каждая маленькая криволинейная трапеция заменяется прямолинейной трапецией

и значение определенного интеграла можно найти как сумму площадей

соответствующих прямолинейных трапеций (рисунок 1.1).

Перекрестная

ссылка

y + y

S

y + y

,

S

y

n

−1

+ y

n

S =

0

1

h ,

=

1

2 h ,

=

h ,

1

2

2

2

n

2

то есть

b

h

n

∫ f ( x)dx ≈

(1.1)

2

y0 + yn

+ 2 ∑ yi .

a

i=1

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

4

Название

Рисунок 1.1 – Графическая интерпретация метода трапеций

1.2

Алгоритм метода трапеций

Алгоритм

метода

трапеций

представлен

блок-схемой

(рисунок 1.2).

Перекрестная

ссылка

Название

Рисунок 1.2 – Блок-схема алгоритма метода трапеций

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

5

Перекрестная

ссылка

Ниже

(таблица

1.1)

приведены

результаты

численного

вычисления

4

2 x dx

интеграла

∫ ln

методом

трапеций

(при шаге

разбиения

10) и, для

1

x

сравнения, – значение интеграла, вычисленного по формуле (1).

Название

Таблица 1.1

Метод

Результат

Сноска

Ньютон-Лейбниц

0.888065738637151

Трапеций

0.88815714659998

1 Результат получен в пакете MathCAD

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

6

Стиль Заголовок 1

Заключение

4

Метод

трапеций

для вычисления

интеграла ∫ ln 2 x dx

дает

достаточно

x

1

хороший результат (таблица 1.1). Очевидно, что при уменьшении шага разбиения

отрезка интегрирования точность вычисления по методу возрастет.

Перекрестная

ссылка

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

7