Студентам_информатика / Лабораторные по информатике / Word_Вариант_15

Содержание

Введение.............................................................................................................

3

1 Численные методы решения систем линейных уравнений..................

4

1.1

Метод Гаусса............................................................................................

5

1.2

Алгоритм метода Гаусса.........................................................................

5

Заключение ........................................................................................................

7

Список литературы ...........................................................................................

8

1308.5011ХХ.000ПЗ

Изм.

№ докум. Подп.

Лист

Дата

Разраб.

ФИО студента

Лит.

Лист

Листов

Пров.

Выполнение индивидуального задания в

Д

8

Рецен.

MS Word

УГАТУ ХХХ 1

Н контр

ФИО препод.

. .

Утв.

Стиль Заголовок 1

Введение

Инженеру часто приходится решать задачи, которые сводятся к решению

системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Пример. В электрической цепи (рисунок 1) найти неизвестные токи i1, i2, i3

по заданным значениям сопротивлений R1, R2, R3 и электродвижущей силе

источника тока E.

Стиль Основной_ПЗ

Название

Рисунок 1 – Многоконтурная схема электрической цепи

Модель задач такого рода строится с использованием законов Кирхгофа.

По закону Кирхгофа для токов в узле b справедливо

i1 = i2 + i3 .

По закону Кирхгофа применительно к левому и внешнему контурам цепи

справедливо

E − i2 R2 − i1 R1 = 0,

E − i3 R3 − i1 R1 = 0.

Таким образом,

получается

система

трех уравнений

с тремя неизвестными

i1, i2 и i3

Название

1 i − 1 i − 1 i = 0

1

2

3

R1 i1 + R2 i2 + 0 i3 = E

(1)

+ R3 i3 = E

R1 i1 + 0 i2

Решение задачи сводится к решению системы линейных уравнений (1)

относительно i1, i2, i3.

3

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

3

методом Гаусса и др.);

Нумерованный список

a11 x1 + a12 x2 + K + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + K + a2n xn = b2

(1.1)

K K K K K K K

Ax = b ,

a

a

K a

x

b

11

12

1n

1

1

где

A =

a21

a22

K a2n

,

x =

x2

b2

.

K

, b =

K

K K K K

an2

an1

K ann

xn

bn

Таблица 1.1

Название

Матрица A

Столбец b

6

-5

7

8

3

3

11

2

4

6

3

2

3

4

1

1

1

1

0

0

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

4

Стиль Заголовок 2

1.1 Метод Гаусса

Метод Гаусса (метод исключения) для решения систем линейных уравнений

относится к прямым методам. Его идея состоит в том, что система (1.1) путем

последовательного исключения неизвестных приводится к системе с треугольной

матрицей, из которой и определяются значения неизвестных [1].

Перекрестная

ссылка

Процесс исключения неизвестных. Пусть a11≠0. Все члены первого

уравнения делятся на a11. Затем из каждого i-го (i≥2) уравнения, полученного

после деления, вычитается первое, умноженное на ai1. В результате, после

преобразований x1 окажется исключенным из всех уравнений кроме первого. По

той же схеме исключается x2 (разделив второе уравнение на a22≠0), затем x3 и т.д.

В результате получается треугольная матрица с единичной главной

диагональю.

~

~

~

~

x1 + a12 x2

+ a13 x3

+ K+ a1n xn

= b1

~

~

~

x2 + a23 x3

+ K+ a2n xn = b2

~

~

(1.2)

x3 + K + a3n xn

= b2

KKKKKKKK

~

xn = bn

Приведение системы (1.1) к треугольному виду (1.2) называется прямым

ходом метода Гаусса. Определение неизвестных называется обратным ходом

метода Гаусса.

1.2 Алгоритм метода Гаусса

Стиль Заголовок 2

Рисунок 1.1 и рисунок 1.2 представляют блок-схему алгоритма метода

Гаусса.

Перекрестная

ссылка

5

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

5

6

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

6