Студентам_информатика / Лабораторные по информатике / Word_Вариант_13

Содержание

Введение.............................................................................................................

3

1 Решение уравнения Лапласа методом сеток..........................................

4

1.1

Пример математической модели анализа процесса распространения

тепла в сплошной среде............................................................................

5

1.2

Метод прогонки.........................................................................................

6

1.3

Алгоритм метода прогонки......................................................................

7

Заключение ........................................................................................................

8

Список литературы ...........................................................................................

9

1308.5011ХХ.000ПЗ

Изм.

№ докум. Подп.

Лист

Дата

Разраб.

ФИО студента

Лит.

Лист

Листов

Пров.

Выполнение индивидуального задания в

Д

9

Рецен.

MS Word

УГАТУ ХХХ 1

Н контр

ФИО препод.

. .

Утв.

Стиль Заголовок 1

Введение

К задаче решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

сводится большое число физических и технических проблем, возникающих,

например, при анализе процесса распространения тепла в сплошной среде (газе,

жидкости или твёрдом теле) от более нагретых частей к менее нагретым.

Математическая модель таких задач создается на основе законов из области

математической физики.

Стиль Основной_ПЗ

Пусть в некоторой плоской среде распространяется тепловой поток U ( x, y) ,

где x, y – декартовы координаты. Если допустить,

что процесс не зависит от

времени, то распределение тепла в этой среде удовлетворяет дифференциальному

уравнению в частных производных

∂ 2U

+ ∂ 2U = 0 .

Название

(1)

∂x 2

∂y 2

Уравнение (1) в математической физике называют уравнением Лапласа.

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

3

Стиль Заголовок 1

1 Решение уравнения Лапласа методом сеток

Пусть задана некоторая произвольная плоская область распространения

тепла D с границей G. Идея метода сеток, или метода конечных разностей

состоит в следующем. Для вычисления температурного режима заданную область

D с границей G покрывают прямоугольной сеткой с шагами

x и y (рисунок 1.1).

Координаты узлов сетки

x = x0 + k

x (k = 0,1,K, n) ; y = y 0 + m

y, (m = 0,1,K, n) .

Перекрестная

ссылка

Название

Рисунок 1.1 – Сетка, покрывающая область

Каждый узел сетки (k , m) имеет четыре соседних узла (k , m − 1) ,

(k − 1, m) ,

(k , m + 1) , (k + 1, m) .

Значение

температуры U k ,m в любом узле области можно вычислить по

формуле

Название

U k +1, m + U k −1, m + U k , m +1

+ U k , m −1

U k , m =

.

(1.1)

4

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

4

Таким образом, дифференциальное уравнение в частных производных (1)

свелось к системе линейных уравнений (1.1). Каждое из этих уравнений

представляет собой вычисление значения температуры в любом узле внутренней

области как среднее арифметическое из четырех соседних с ним.

1.1 Пример математической модели анализа процесса

распространения тепла в сплошной среде

Стиль Заголовок 2

Металлическая пластинка (рисунок 1.1) является деталью некоторого

устройства. Во время работы устройства во всех точках края пластины

поддерживается определенная температура. Пластина расчерчена в виде сетки с

квадратными

ячейками ( x =

y ). Рассчитать

значения

температур в четырех

внутренних узлах пластины.

Перекрестная ссылка

Для вычисления значений температуры t

во внутренних узлах достаточно

записать уравнения для каждого узла как среднее арифметическое значений t в

соседних точках по горизонтали и вертикали:

=

50 + 80 + 50 + t 2

t1

4

t1 + t3 + 45 + 90

=

t 2

4

40 + 100 + t 2 + t 4

=

t3

4

=

t3 + t5 + 35 + 100

t 4

4

t 4 + 100 + 30 + 100

=

t5

4

В матричном виде эта система линейных уравнений запишется

At = b ,

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

5

4

− 1

0

0

0

t

180

1

− 1

4

− 1

0

0

t 2

135

где A = 0

− 1

4

− 1

0 ,

t = t3

,

b = 140 .

0

0

− 1

4

− 1

t 4

135

Сноска

0

0

− 1

0

4

t5

230

Это математическая модель задачи. Решение данной системы линейных

уравнений c трехдиагональной матрицей1 и будет решением поставленной задачи.

1.2

Метод прогонки

Стиль Заголовок 2

Метод прогонки применяется для решения систем линейных уравнений с

трехдиагональными матрицами вида.

a11x1 + a12 x2

= b1

a

x + a

22

x

2

+ a

23

x

3

=

b

21 1

2

a32 x2

a33x3 +

a34 x4

b3

+

=

(1.2)

K

ann−1xn−1 + ann xn

= bn

Из первого уравнения системы (1.2) можно вычислить x1

x1 = α 1x2 + β 1 ,

где

α = − a12 ,

β

= b1 .

1

a11

1

a11

Остальные xi вычисляются по следующим формулам

x i = α i xi +1 + β i ,

α i = −

a i, i +1

bi

− ai, i −1β i −1

,

β i =

(1.3)

a i, i + a i, i −1α i −1

a i,i + a i,i −1α i −1

Метод прогонки является двухпроходным. На прямом проходе вычисляются

коэффициенты αi и βi , а на обратном неизвестные xi.

1 Решение таких систем можно осуществить методом прогонки

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

6

1.3

Алгоритм метода прогонки

Стиль Заголовок 2

Рисунок 1.2 представляет блок-схему алгоритма метода прогонки.

Перекрестная

ссылка

Название

Рисунок 1.2 – Блок-схема метода прогонки

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

7

Заключение

Стиль Заголовок 1

Таким образом, решение задач, связанных с анализом процесса

распространения тепла в сплошной среде сводится к решению систем линейных

уравнений с трехдиагональными матрицами. Такие системы уравнений легко

решаются методом прогонки [1].

Перекрестная ссылка

.

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

8