Студентам_информатика / Лабораторные по информатике / Word_Вариант_5

Содержание

Введение.............................................................................................................

3

1

Численное интегрирование......................................................................

4

1.1

Интегрирование по методу средних прямоугольников.......................

4

1.2

Алгоритм метода средних прямоугольников.......................................

5

Заключение ........................................................................................................

7

Список литературы ...........................................................................................

8

1308. 5011ХХ.000ПЗ

Изм.

№ докум. Подп.

Лист

Дата

Разраб.

ФИО студента

Лит.

Лист

Листов

Пров.

Выполнение индивидуального задания в

Д

8

Рецен.

MS Word

УГАТУ ХХХ 1

Н контр

ФИО препод.

. .

Утв.

Стиль Заголовок 1

Введение

Инженеру часто приходится вычислять значения определенного интеграла:

при анализе инженерных и научных данных, для оценки показателей качества

работы технических объектов и систем, входные и выходные переменные

которых изменяются во времени или пространстве и др.

Стиль Основной_ПЗ

Пусть

дана функция

f ( x) , которая непрерывна на интервале

[a, b] и

определена ее первообразная F ( x) , тогда определенный интеграл

можно

вычислить по формуле Ньютона-Лейбница

Название

b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) ,

(1)

a

где

′

F ( x) = f ( x) .

Пример. Рассчитать заряд протекшего через проводник тока за указанный

промежуток времени.

Построим математическую модель задачи. Заряд, протекший через

поперечное сечение проводника за время с момента t0 до tk равен

t k

Q = ∫ I (t )

dt ,

(2)

t 0

где I(t) – заданный закон изменения силы тока в цепи.

Следовательно, эта задача свелась к вычислению интеграла (2).

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

3

Стиль Заголовок 1

1

Численное интегрирование

На практике чаще всего встречаются интегралы, которые вычислить по

формуле. В этом случае приходится прибегать к приближенному вычислению

интегралов численными методами [1].

Перекрестная ссылка

Интегрирование численными методами предполагает, что интервал

интегрирования [a, b] делится точками x0 , x1,K, xn на n равных частей. Длина

каждой

части

составляет

h = b − a

и

тогда

x

= x

0

+ i h,

i = 1,K, n − 1. Идея

n

i

численного интегрирования методом прямоугольников заключается в том, что из

каждой точки проводится перпендикуляр до пересечения с кривой y = f ( x) , далее

каждая маленькая криволинейная трапеция заменяется прямоугольником.

Площадь полученной фигуры можно найти как сумму площадей

прямоугольников, стороны которых равны h и yi.

Стиль Заголовок 2

1.1 Интегрирование по методу средних прямоугольников

Идея метода средних (центральных) прямоугольников заключается в том,

что значение функции вычисляется в точке, расположенной в середине отрезка

[xi−1 , xi ] (рисунок 1.1), т.е.

Перекрестная

h

h

xi−1

+

= xi − .

ссылка

2

2

Тогда квадратурная формула средних прямоугольников будет иметь вид:

b

n

h

n

h

I = ∫ f ( x)dx ≈ h ∑ f xi−1 +

= h ∑ f xi

−

.

(1.1)

a

i=1

2

i=1

2

Название

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

4

1.2 Алгоритм метода средних прямоугольников

Стиль Заголовок 2

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

5

Название

Перекрестная

ссылка

Рисунок 1.2 – Блок-схема алгоритма метода средних прямоугольников

Ниже

(таблица

1.1)

приведены

результаты

численного

вычисления

4

интеграла ∫ ln 2 x dx

методом средних

прямоугольников и, для

сравнения,

–

1

x

значение интеграла, вычисленного в математическом пакете MathCad.

Таблица 1.1

Название

Сноска

Метод

Результат

Ньютон-Лейбниц

0.888065738637151

Симпсона

0.888067817687988

1 Результат получен в пакете MathCAD

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

6

Стиль Заголовок 1

Заключение

Метод средних (центральных) прямоугольников для вычисления интеграла

4 ln

2 x

он сопоставим по точности с

∫

dx дает хороший результат (таблица 1.1),

x

1

методом трапеций. Очевидно, что при уменьшении шага разбиения отрезка

интегрирования точность вычисления по методу возрастет.

Перекрестная

ссылка

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

7