Министерство цифрового развития связи и массовых коммуникаций

Ордена Трудового Красного Знамени

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Московский технический университет связи и информатики»

Факультет Информационных Технологий

Кафедра: «Теория вероятностей и прикладная математика»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

на тему:

«Проверка статистических гипотез и теория оценивания»

Выполнил: студент группы БСТ2104

Ягудин Р. Р., вариант 26

Проверила: ___________________

доцент Смирнова Н. И.

Москва, 2022 г.

ЗАДАНИЕ 1

С помощью критериев согласия Пирсона и Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка из задания 2 лабораторной работы 1 имеет нормальное распределение.

ЗАДАНИЕ 2

Для выборки из задания 2 лабораторной работы 1 найти интервальные оценки параметров нормального распределения.

Дана трудоёмкость единицы продукции 30-ти предприятий (выборка из задания 2 лабораторной работы 1):

0,36
0,37
0,43
0,35
0,38
0,42
0,30
0,32
0,25
0,31
0,26
0,37
0,29
0,34
0,23
0,17
0,29
0,41
0,41
0,22
0,29
0,51
0,36
0,23
0,26
0,27
0,29
0,01
0,02
0,18

РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ГРАФИКИ

ЗАДАНИЕ 1

Вариационный ряд: 0,01; 0,02; 0,17; 0,18; 0,22; 0,23; 0,23; 0,25; 0,26; 0,26; 0,27; 0,29; 0,29; 0,29; 0,29; 0,3; 0,31; 0,32; 0,34; 0,35; 0,36; 0,36; 0,37; 0,37; 0,38; 0,41; 0,41; 0,42; 0,43; 0,51

Объём выборки:

Интервал варьирования:

Размах выборки:

Группировка данных:

xi	[-0,0315; 0,1)	[0,1; 0,183)	[0,183; 0,266)	[0,266; 0,349)	[0,349; 0,432)	[0,432; 0,51)
ni	2	2	6	9	10	1
pi	0,07	0,07	0,2	0,3	0,33	0,03

Критерий согласия Пирсона:

Проверим при уровне значимости α = 0,05 гипотезу H₀ о том, что трудоемкость единицы продукции 30-ти предприятий подчиняется нормальному закону распределения.

Объединим интервалы, в которых частоты меньше четырех. Получим объединения первого и второго, а также пятого и шестого столбцов.

Тогда таблица примет вид:

xi	[-0,0315; 0,183	[0,183; 0,266)	[0,266; 0,349)	[0,349; 0,51)
ni	4	6	9	11
pi	0,13	0,2	0,3	0,37
ti	0,076	0,2245	0,3075	0,4295

Выборочное среднее:

Выборочная смещённая дисперсия:

xi	[-0,0315; 0,183	[0,183; 0,266)	[0,266; 0,349)	[0,349; 0,51)		[0,266; 0,349)	[0,349; 0,51)
ni	4	6	9	11
ti	0,076	0,2245	0,3075	0,4295
	0,3
	0,05	0,0057	0,000056	0,018

Выборочное стандартное отклонение:

Найдём p_i ( = ). Так как с.в. Х ~ N(α, ) определена на (-∞; ∞), то крайние интервалы в ряде распределения заменяем, соответственно, на [-∞; 0,183) и [0,349; +∞).

p₁ = 0,165

p₂ = - 0,1103 + 0,33525

p₃ = 0,1591 + 0,1103

p₄ = 0,1591 = 0,3409

xi	[-0,0315; 0,183	[0,183; 0,266)	[0,266; 0,349)	[0,349; 0,51)
ni	4	6	9	11
ni′ = npi	4,95	6,75	8,1	10,23

Количество степеней свободы определяется по формуле: k = m – r – 1, где m – количество интервалов (m = 4), r – количество оцениваемых параметров рассматриваемого закона распределения (2), следовательно k = 4 – 2 – 1 = 1.

Зная, что α = 0,05 и k = 1, по таблице находим

При H₀ отвергается, при нет оснований отвергать гипотезу H₀.

0,4 < 3,8 поэтому нулевую гипотезу (H₀₎ о нормальном распределении генеральной совокупности нет оснований отвергать.

Критерий согласия Колмогорова:

D_n = max{0;0,1343; 0,1939; 0,37 } = 0,37

При D_n > D₀ H₀ отвергается, при D_n < D₀ нет оснований отвергать гипотезу H₀.

0,37 < 0,38, следовательно гипотеза принимается.

ЗАДАНИЕ 2

Математическое ожидание MX =

Дисперсия

Для математического ожидания:

α = 1 – γ = 0,05, следовательно γ = 0,95

Для γ = 0,95 и 29 (n – 1) степеней свободы по таблицам распределения Стьюдента находим t_{α, n – 1}

Тогда доверительный интервал запишем в виде:

Для стандартного отклонения:

α = 1 – γ = 0,05  γ = 0,95  = 1,96

Подставим и получим:

РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫПОЛНЕНИЯ В EXCEL

Рисунок 1 – Расчёты для задания 1,выполненные в Excel

Рисунок 2 – Расчёты для задания 2, выполненные в Excel

ВЫВОД

Выполнены задания лабораторной работы на тему «Проверка статистических гипотез и теория оценивания». Расчёты производились вручную и в Excel.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. https://www.microsoft.com/ru-ru/microsoft-365/excel

2. Володин И.Н., Лекции по теории вероятностей и математической статистике Казань, 2006

3. Кацман Ю.Я., Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы, изд. Томского политех. университета, 2013

12