Добавил:
baraevaliza
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лабы по МетОпт 2024 / Лабораторная работа №4
.pdf
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)
Кафедра МО ЭВМ
ОТЧЁТ
по лабораторной работе №4
по дисциплине «Методы оптимизации»
Тема: решение прямой и двойственной задачи
Студенты гр. 2382
Ивашинников Л.Д.
Ульянова Е.А.
Семененко А.С.
Вакуленко И.Ю.
Щёголева Н.Д.
Преподаватель
Балтрашевич В.Э.
Санкт-Петербург
2024
2
Цель работы
Постановка задачи линейного программирования и её решение с помощью
стандартной программы. Исследование прямой и двойственной задачи.
Задание
Содержательная постановка задачи. Вариант 2. Рассмотрим задачу
оптимального использования материалов при условии, что заданный план
изготовления может быть выполнен или перевыполнен: при изготовлении обуви
используют, в частности, жесткую кожу – чепрак, ворот и др. Каждый из видов
в свою очередь делится на несколько категорий по средней толщине. ГОСТом
предусмотрено изготовление деталей из определенного вида кожи. Одна и та же
деталь может быть изготовлена из различных видов кожи, причем из этих же кож
изготовляют и другие детали. Исходные данные приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Исходные данные задачи
Толщина
детали, мм
Количество деталей
по плану, тыс. шт.
Количество деталей, которые можно изготовить из
1000 кв. м. кожи, тыс. шт., при толщине
чепрака, мм
ворота, мм
4.01 – 4.5
4.51 – 5.0
3.5 – 4.0
4.51 – 5.0
3.9
21
26.5
7.8 – –
3.0
30
51.0
26
45.7 – 2.5
500
– – 5.0
72.5
В наличии имеется:
• 0.9 тыс. кв. м. чепрака толщиной 4.01 – 4.5 мм по цене 14.4 р. за 1 кв. м.;
• 0.8 тыс. кв. м. чепрака толщиной 4.51 – 5.0 мм по цене 16 р. за 1 кв. м;
• 5.0 тыс. кв. м. ворота толщиной 3.5 – 4.0 мм по цене 12.8 р. за 1 кв. м.;
• 7.0 тыс. кв. м. ворота толщиной 4.51 – 5.0 мм по цене 10.5 р. за 1 кв. м.
Порядок проведения лабораторной работы.
1. По заданной содержательной постановке задачи поставить задачу
формально (т.е. привести к виду (1)).
2. Решить поставленную задачу с помощью готовой программы.
3. Поставить двойственную задачу с помощью готовой программы.
4. Решить двойственную задачу с помощью той же программы.
3
5. Определить коэффициенты чувствительности исходной задачи по
координатам правой части ограничений (вектора ). Для этого:
a. увеличить -ую координату вектора ограничений правой части на
;
b. решить задачу с новым вектором , ответ –
;
c. вычислить
;
d. сравнить полученное число с -ой координатой оптимальной
точки двойственной задачи.
6. Повторить процедуру, описанную в п. 5, но варьировать на этот раз
коэффициенты целевой функции – компоненты вектора и сопоставить
результаты с координатами вектора-решения исходной задачи.
Основные теоретические положения
Если исходная задача линейного программирования представлена
в виде: найти минимум функции
на множестве
То двойственная задача может быть сформулирована следующим образом:
найти максимум функции
на множестве
где – матрица, транспонированная к .
Двойственная к двойственной задаче есть исходная задача.
Известно, что если существует решение исходной задачи, то существует
решение и двойственной задачи, причем значения экстремумов совпадают. При
этом координаты экстремальной точки для двойственной задачи являются
коэффициентами чувствительности результата в исходной задаче по
коэффициентам вектора .
Рассмотрим видоизмененную исходную задачу: найти
на
множестве
, где ,
.
4
Если исходная задача имеет единственное решение, то при малых
и видоизменённая задача имеет решение; причем если
– значение
минимума, то существует
. Оказывается, что есть -ая
координата оптимальной точки для двойственной задачи.
Для проведения лабораторной работы составлена программа,
обеспечивающая решение задачи линейного программирования при задании с
терминала исходных значений параметров.
Выполнение работы
Поставим формальную задачу. Введём обозначение
– количество
приобретённой кожи каждого вида. Целевая функция отражает стоимость
выполнения плана:
Задача имеет следующие ограничения:
Решим поставленную задачу с помощью программ (см. рисунки 1-3).
5
Рисунок 1 – Постановка прямой задачи
Рисунок 2 – Решение прямой задачи
Рисунок 3 – Решение прямой задачи в новой программе
6
Координаты оптимальной точки
.
Значение целевой функции
.
Таким образом, минимальная стоимость выполнения плана будет
получена, если использовать 0.792 тыс. кв. м. кожи первого вида и 6.897 тыс. кв.
м. кожи четвёртого вида.
Поставим двойственную задачу. В задаче семь переменных и целевая
функция выглядит следующим образом:
Ограничения задачи таковы:
Решим двойственную задачу с помощью программы (см. рисунки 4-6).
Рисунок 4 – Постановка двойственной задачи
7
Рисунок 5 – Решение двойственной задачи
Рисунок 6 – Решение двойственной задачи в новой программе
Координаты оптимальной точки
.
Значение целевой функции
.
Экстремумы целевых функций совпадают:
.
Определим коэффициент чувствительности прямой задачи по координатам
правой части ограничений. Ход работы показан в таблице 2.
8
Таблица 2 – Определение коэффициента чувствительности по вектору
Постановка задачи
Результат
1
2
3
4
5
9
6
7
Вычислим
:
Получили вектор
, элементы которого
приблизительно равны вектору . Экстремальная точка
двойственной задачи
является векторным коэффициентом чувствительности исходной задачи по
вектору .
Определим коэффициент чувствительности прямой задачи по вектору .
Таблица 3 – Определение коэффициента чувствительности для вектора
Постановка задачи
Результат
1
10
2
3
4
Вычислим
:
Получили вектор
. Сравним его с вектором
: компоненты вектора приблизительно совпадают.
Выводы
Были исследованы прямая и двойственная задачи линейного
программирования. Определены коэффициенты чувствительности, получен
навык постановки задач линейного программирования.
Соседние файлы в папке Лабы по МетОпт 2024