Добавил:
baraevaliza
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Лабы по МетОпт 2024 / Лабораторная работа №1
.pdf
11
Рисунок 7 – Метод наискорейшего спуска, начальная точка (4, 23), параметр 0,1
Метод сходится значительно быстрее предыдущих. Но при этом для
поиска оптимального шага на каждой итерации происходит от 9 до 26-ти
вычислений функции
. Метод показывает себя значительно лучше на
более гладкой поверхности (что достигается увеличением значения параметра
). Характерная черта этого метода – ортогональность соседних градиентов.
Метод Ньютона-Рафсона. Результаты работы метода при различных
параметрах и стартовых точках приведены в Таблица 9.
Таблица 9 – Результаты для метода Ньютона-Рафсона
(x, y)\a
Количество шагов
(3, 8)
7 8 6
(2, 5)
7 9 6
(4, 23)
6 7 8
Параметры запуска, такие как начальная длина и количество шагов
представлены в Таблица 10.
Таблица 10 – Параметры запуска метода Ньютона-Рафсона
(x, y)\a
Шаг
Количество
Шаг
Количество
Шаг
Количество
(3, 8) 1 100
0,1
100
0,1
100
(2, 5)
0,01
100
1
100
0,1
100
(4, 23)
0,01
100
0,01
100
1
100
Процесс поиска решения показан на Рисунок 8.
12
Рисунок 8 – Метод Ньютона-Рафсона
Метод сошёлся во всех случаях, причём для этого ему понадобилось всего
6-9 итераций в различных случаях. Преимуществом также является то, что метод
указал в нужную точку без погрешности. Он также вычисляет функцию всего
один раз на каждом этапе. К недостаткам можно отнести необходимость
подсчёта гессиана.
Алгоритм Полака-Рибьера. Результаты работы метода при различных
параметрах и стартовых точках приведены в Таблица 11.
Таблица 11 – Результаты для алгоритма Полака-Рибьера
(x, y)\a
Количество шагов
(3, 8)
15
29
11
(2, 5)
15
12 9 (4, 23)
15
22
13
Параметры запуска, такие как начальная длина и количество шагов
представлены в Таблица 12.
Таблица 12 – Параметры запуска алгоритма Полака-Рибьера
(x, y)\a
Шаг
Количество
Шаг
Количество
Шаг
Количество
(3, 8)
0,01
30
0,01
30
0,01
30
(2, 5)
0,01
30
0,01
30
0,01
30
(4, 23)
0,01
30
0,01
30
0,01
30
Процесс поиска решения показан на Рисунок 9.
13
Рисунок 9 – Алгоритм Полака-Рибьера
Рисунок 10 – Алгоритм Полака-Рибьера, начальная точка (4, 23), параметр 0,1
Алгоритм сходится за малое количество итераций, однако, требователен в
части вычисления функции
.
Алгоритм Давидона-Флетчера-Пауэлла (ДФП). Результаты работы метода
при различных параметрах и стартовых точках приведены в Таблица 13.
Таблица 13 – Результаты для алгоритма ДФП
(x, y)\a
Количество шагов
(3, 8)
– – 75
(2, 5)
12
63
40
(4, 23)
– – –
Параметры запуска, такие как начальная длина и количество шагов
представлены в Таблица 14.
14
Таблица 14 – Параметры запуска алгоритма ДФП
(x, y)\a
Шаг
Количество
Шаг
Количество
Шаг
Количество
(3, 8)
0,3
100
0,3
100
0,3
100
(2, 5)
0,1
100
1
100
1
100
(4, 23)
0,3
100
0,3
100
0,3
100
Процесс поиска решения показан на рисунке 2.
Рисунок 11 – Алгоритм ДФП
Методу свойственно оставаться в локальном минимуме. Пример такой
ситуации см. на Рисунок 12.
Рисунок 12 – Метод ДФП, локальный минимум
Алгоритм Бройдена-Флетчера-Шанно. Результаты работы метода при
различных параметрах и стартовых точках приведены в Таблица 15.
15
Таблица 15 – Результаты для алгоритма БФШ
(x, y)\a
Количество шагов
(3, 8)
20
10 6 (2, 5)
15
10 6 (4, 23)
26
12
6
Параметры запуска, такие как начальная длина и количество шагов
представлены в Таблица 16.
Таблица 16 – Параметры запуска алгоритма БФШ
(x, y)\a
Шаг
Количество
Шаг
Количество
Шаг
Количество
(3, 8)
0,01
30
0,01
30
0,01
30
(2, 5)
0,01
30
0,01
30
0,01
30
(4, 23)
0,01
30
0,01
30
0,01
30
Процесс поиска решения показан на Рисунок 13 и Рисунок 14.
Рисунок 13 – Алгоритм БФШ, начальная точка (3, 8), параметр 1
Рисунок 14 – Алгоритм БФШ, начальная точка (3, 8), параметр 0,1
16
Метод показывает отличные результаты, сравнимые с алгоритмом ПолакаРивьера. Является модификацией метода Ньютона-Рафсона.
Выводы
Были исследованы различные методы минимизации. Градиентные методы
с постоянным либо меняющимся шагом показывают довольно медленную
сходимость, либо не сходятся совсем.
Метод наискорейшего спуска работает за меньшее число итераций, чем
градиентные, но большее, чем изученные далее методы. Ньютоновские и
квазиньютоновские алгоритмы требуют существенно меньшего числа итераций,
чем все представленные ранее, но сталкиваются с необходимостью расчёта
побочных функций.
Алгоритм Давидона-Флетчера-Пауэлла не смог найти точку, в которой
функция принимает минимальное значение, застряв в локальном минимуме.
В целом, ньютоновские и квазиньютоновские методы работают более
эффективно, но требуют больше вычислений и накладывают ограничения на
минимизируемые функции, например, метод Ньютона-Рафсона требует, чтобы
функция имела третьи производные по всем своим переменным.
Соседние файлы в папке Лабы по МетОпт 2024