Лабы по ТПР 2025 / Лаба 3

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)

Кафедра МО ЭВМ

отчет

по лабораторной работе №3

по дисциплине «Теория принятия решений»

Тема: Принятие решений в задачах выпуклого программирования

Студентка гр. 2383		Бараева Е. Н.
Преподаватель		Попова Е. В.

Санкт-Петербург

2025

Цель работы

Научиться находить условный экстремум, применяя условия Туна-Таккера.

Задание

1. Выучить теоретические положения.

2. Проверить является ли задача данного варианта задачей выпуклого программирования, при отрицательном ответе изменить задачу.

3. Применить условия Туна-Таккера, подробно расписать последовательность нахождения неизвестных, получить оптимальный план и седловую точку функции Лагранжа.

4. Применить к этой задаче численный метод НП – метод множителей Лагранжа с помощью инструментальных средств. Составить таблицу.

• Провести количество операций, достаточное для получения результатов, близких к полученным в 3 пункте.

• Провести количество операций с условием остановки .

5. Сделать выводы.

Теоретические положения

Задача математического программирования относится к классу задач выпуклого программирования, если ее допустимая область является выпуклым множеством, а целевая функция является выпуклой (для задач минимизации) или вогнутой (для задач максимизации). Выпуклость допустимой области гарантируется, если все функции в ограничениях-неравенствах являются выпуклыми. Вогнутость целевой функции f(x) проверяется с помощью анализа ее матрицы вторых частных производных (гессиана). Если матрица Гессе отрицательно определена, функция является строго вогнутой. Ключевое свойство задач выпуклого программирования заключается в том, что любой локальный оптимум является также и глобальным.

Итеративный процесс, похожий на метод проекции градиента, применяем его для подъема для функции x и спуска для функции y. Получим:

где

− матрица градиентов , .

Проекция на множество Y определяется:

Если R — неотрицательный ортант, то проекция на него определяется аналогично.

Выполнение работы

Вариант 4.

Допустимая область определяется системой из четырех линейных неравенств:

Пересечение полупространств, заданных линейными неравенствами, образует выпуклое множество.

Для проверки на вогнутость необходимо исследовать матрицу Гессе функции .

Рассчитаем первые частные производные:

Рассчитаем вторые частные производные:

Матрица Гессе:

Главные миноры матрицы:

Поскольку знаки главных миноров чередуются, матрица Гессе является отрицательно определенной. Это доказывает, что целевая функция строго вогнута.

Тогда:

Аналитическое решение

Функция Лагранжа:

Пусть :

1. Из уравнения (4) выразим :

2. Подставим в уравнениях (1) и (2):

(1)

(2)

3. Решим систему из полученных уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе, умноженное на 3:

Тогда:

Не удовлетворяет условию:

Пусть :

1. Из уравнения (3) выразим :

2. Подставим в уравнениях (1) и (2):

(1)

(2)

3. Решим систему из полученных уравнений:

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 2:

Тогда:

Не удовлетворяет условию:

Пусть :

Получается противоречие: в уравнении (3) , а в (4)

Пусть :

Получается противоречие: в уравнении (3) , а в (4)

Пусть и :

1. Решим систему из уравнений:

Добавим к первому уравнению второе, умноженное на 4:

Тогда:

2. Проверим неравенства (3) и (4):

Неравенство (3) выполнено.

Неравенство (4) выполнено.

Ответ:

Если подставить эти значения в системы, то получим:

Все условия выполнены значит мы нашли ответ:

Набор , образует седловую точку функции Лагранжа.

Численное решение

Выберем начальную точку , .

Найдем седловую точку, используя итеративный процесс проекции градиента, применив его для подъема по переменной и спуска по переменной .

С постоянным шагом . Нам потребуются величины:

Первая итерация:

Для выполнения данного задания напишем программу, выполняющую данные шаги. Для получения результатов, близких к полученным в предыдущем пункте, был выбран критерий остановки:

где , – решение, полученное ранее, , – решение, выданное программой, – требуемая точность 0,01.

Рисунок 1. Результат работы программы

Ответы получились достаточно близкими.

Вывод программы для критерия

Рисунок 2. Результат работы программы

Как видно ответ не совпал, было проведено слишком малое количество итераций. Значит данный критерий нельзя использовать в данных условиях.

Вывод

Задача успешно идентифицирована как задача выпуклого программирования, что гарантировало единственность и глобальность найденного оптимума.

Аналитический метод (КТ) позволил найти точное решение: со значением функции при .

Численный метод множителей Лагранжиана показал медленную сходимость к аналитическому решению. Небольшие отклонения обусловлены погрешностью итерационного процесса.

Совпадение результатов двух методов подтверждает правильность решения.

Приложение А

Код программы: tpr_lab3.ipynb