Добавил:
baraevaliza
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ИДЗ 2025 / Бараева Елизавета 2383 ИДЗ 4
.pdf
Элементы функционального анализа
Индивидуальное домашнее задание №4
Задание 1. Заданы вершины многогранника в R3:
Вершина x y z Нормали
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
Линейный функционал h задан вектором:
13 11 1 1, 4, 5, 8
2 7 1 1, 2, 5, 6
1 -1 1 2, 3, 6, 7
12 3 1 3, 4, 7, 8
7 5 5 1, 2, 3, 4
7 5 -1 5, 6, 7, 8
Студентка: Бараева Елизавета
Группа: 2383
Вариант: 3
Дата: 30 мая 2025 г.
h = (h1, h2, h3) = (21, 17, 36)
Дан список номеров вершин, образующих грани:
Грань Номера вершин
1 1 2 5
2 2 3 5
3 3 4 5
4 4 1 5
5 1 2 6
6 2 3 6
7 3 4 6
8 4 1 6
Необходимо:
(1) Сформировать список внешних нормалей к граням.
(2) Каждый конус вершины разрезать на трехгранные конуса, (найти пару нор-
малей, плоскость которых разделяет две другие нормали), сформировать 12
трехгранных конусов.
(3) Для каждого базиса трехгранного конуса сформировать биортогональный
базис. Найти координаты вектора h в каждом базисе и определить, в какой вершине многогранника достигается максимум и минимум линейного
функционала h.
Решение. Многогранник M задается как выпуклая оболочка вершин {v1, . . . , v6} и
может быть представлен как пересечение полупространств:
N
\
M =
x ∈ R3| fj(x) ≤ c
j=1
1
,
j
где fj(x) = ¯nj· x — линейные функционалы, определяемые внешними нормалями ¯n
к граням многогранника, а cj— константы.
Определение.
Говорят, что множества M и N , лежащие в банаховом пространстве X, отделены
функционалом f ∈ X∗, если для любых x ∈ M и y ∈ N выполнено неравенство
f(x) < f (y).
Теорема об отделимости выпуклых множеств.
Если M и N — выпуклые открытые множества в банаховом пространстве X, не
имеющие общих точек, то существует функционал f ∈ X∗, который их разделяет.
Теорема об отделимости групп множеств.
Пусть X — банахово пространство, V0, . . . , Vn— открытые выпуклые подмножества
X, такие что
n
\
Vk= ∅.
k=0
Тогда существуют открытые полупространства D0, . . . , Dn, такие что
n
\
Vk⊂ Dk, k = 0, . . . , n − 1, Vn⊂ Dn,
Dk= ∅.
k=0
Теорема о линейной зависимости функционалов.
Пусть g, f1, . . . , fn∈ X∗, ck∈ R, Dk= {x ∈ X : fk(x) < ck}. Если
n
\
Dk= ∅, g ∈ X∗и g(x) ⩾ 0 при x ∈
k=1
n
\
k=1
Dk,
то существуют неотрицательные числа λk, такие что
n
X
g +
Предположим, что g, f1, . . . , fn∈ X∗. Если g(x) = 0 для всех x ∈
λkfk= 0.
k=1
T
n
k=1
ker fk, то
существуют вещественные числа αk, такие что
n
X
g =
αkfk.
k=1
Задача линейной оптимизации.
Пусть в банаховом пространстве X задан многоугольник
n
\
A =
{x : fj(x) < ej},
j=1
где fj∈ X∗, ej∈ R и сдвинутое линейное многообразие
j
Y = {y : gk(y) = dk}, gk∈ X∗, gk∈ R, k = 1, . . . , m.
Требуется найти максимум функционала h ∈ X∗на A ∩ Y .
Решение задачи линейного программирования.
Элемент θ ∈ A ∩ Y является решением задачи
h(θ) = max{h(x) : x ∈ A ∩ Y }
тогда и только тогда, когда существуют числа:
λj≥ 0 для j ∈ J(θ),
2
µk∈ R для k = 1, . . . , m,
такие что
h =
X
λjfj+
j∈J (θ)
m
X
k=1
µkgk,
где j ∈ J(θ) = {j : fj(θ) = ej} — множество индексов активных ограничений.
1) Сформировать список внешних нормалей к граням.
Рассмотрим грань, образованную вершинами 1, 2, 5:
v1= (13, 11, 1)
v2= (2, 7, 1)
v5= (7, 5, 5)
Вычислим нормаль через векторное произведение:
n = (v2− v1) × (v5− v1) = (−11, −4, 0) × (−6, −6, 4) = (−16, 44, 42)
Коэффициент D определяется из условия:
D = −n · v1= −(−16 · 13 + 44 · 11 + 42 · 1) = −318
Таким образом, уравнение грани:
−16x + 44y + 42z − 318 = 0
Таблица нормалей и уравнений граней:
Грань Нормаль Уравнение
1 (−16, 44, 42) −16x + 44y + 42z − 318 = 0
2 (−32, 4, 42) −32x + 4y + 42z − 6 = 0
3 (16, −44, 42) 16x − 44y + 42z − 102 = 0
4 (32, −4, 42) 32x − 4y + 42z − 414 = 0
5 (−8, 22, −42) −8x + 22y − 42z − 96 = 0
6 (−16, 2, −42) −16x + 2y − 42z + 60 = 0
7 (8, −22, −42) 8x − 22y − 42z + 12 = 0
8 (16, −2, −42) 16x − 2y − 42z − 144 = 0
Проверим, что все нормали внешние, подставив каждую точку в уравнения плоскостей (значение должно быть не положительным):
Точка v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
Грань 1 0 0 −336 −336 0 −252
Грань 2 −336 0 0 −336 0 −252
Грань 3 −336 −336 0 0 0 −252
Грань 4 0 −336 −336 0 0 −252
Грань 5 0 0 −168 −168 −252 0
Грань 6 −168 0 0 −168 −252 0
Грань 7 −168 −168 0 0 −252 0
Грань 8 0 −168 −168 0 −252 0
2) Каждый конус вершины разрезать на трехгранные конуса, (найти пару нормалей, плоскость которых разделяет две другие нормали), сформировать 12 трехгранных конусов.
3
Для анализа структуры выпуклых многогранников применяется техника декомпозиции многогранных конусов. Суть метода заключается в представлении каждого
N-гранного конуса (где N > 3) в виде объединения трехгранных подконусов. Геометрически это соответствует разбиению пространства на сектора с помощью дополнительных гиперплоскостей.
Для определения оптимального разбиения используется следующий алгоритм:
(1) Выбираем два базисных вектора u и v из системы нормалей.
(2) Проверяем положение остальных векторов относительно плоскости, заданной
u и v.
(3) Разделение считается допустимым, если sign[u, v, w1] = sign[u, v, w2] для хотя
бы одной пары оставшихся векторов.
Вершина Базис 1 Базис 2
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
{1, 8, 4} {1, 8, 5}
{1, 6, 2} {1, 6, 5}
{2, 7, 3} {2, 7, 6}
{3, 8, 4} {3, 8, 7}
{1, 3, 2} {1, 3, 4}
{5, 7, 6} {5, 7, 8}
3) Для каждого базиса трехгранного конуса сформировать биортогональный базис. Найти координаты вектора h в каждом базисе и определить, в какой вершине
многогранника достигается максимум и минимум линейного функционала h.
Для проверки критерия оптимальности в каждой вершине v требуется разложить
вектор функционалаh (или −h) по базисам нормалей, соответствующим 3-гранным
конусам, на которые разбит исходный конус нормалей NM(v).
Пусть {na, nb, nc} — один из базисов нормалей для вершины v. Коэффициенты
разложения αa, αb, αcнаходятся через биортогональный базис {na, nb, nc}:
na=
nb× n
c
⟨na, nb, nc⟩
, nb=
nc× n
a
⟨na, nb, nc⟩
, nc=
na× n
b
⟨na, nb, nc⟩
Коэффициенты вычисляются как:
αa= ⟨h, na⟩, αb= ⟨h, nb⟩, αc= ⟨h, nc⟩
Коэффициенты разложения функционала:
Вершина Базис 1 Базис 2
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
157
,
336
157
215
, −
336
252
299
−
, −
336
157
−
, −
336
31
215
,
28
336
13
, −
14
168
1
1
3
, −
,
, −
73
252
, −
81
112
467
1008
31
13
,
21
48
149
,
144
299
336
299
168
−
−
25
21
1
252
13
21
143
252
336
73
143
168
299
,
168
, −
, −
299
,
168
, −
, −
299
168
157
168
, −
, −
1
,
4
25
14
81
56
467
,
504
, −
149
299
336
,
72
299
168
13
24
Если все коэффициенты разложения положительны, то вектор лежит в конусе и
максимум достигается в вершине.
Если все коэффициенты отрицательны, то в вершине достигается минимум.
4
Если один из коэффициентов равен нулю, а остальные положительны, то макси-
мум достигается на ребре.
Если два коэффициента равны нулю, а третий положителен, то максимум дости-
гается на грани.
Аналогичные утверждения верны для точек минимума.
Таким образом, максимум функционала h достигается в вершине v1конуса 1,
минимум — в вершине v3конуса 2. □
5
Соседние файлы в папке ИДЗ 2025