Добавил:
baraevaliza
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ИДЗ 2025 / Бараева Елизавета 2383 ИДЗ 3
.pdf
Студентка: Бараева Елизавета
Группа: 2383
Вариант: 3
Дата: 27 мая 2025 г.
Элементы функционального анализа
Индивидуальное домашнее задание №3
Задание 1. Заданы два вектора в R4:
k = (5, 7, 9, 10), g = (2, 3, 2, 2)
(координаты в базисе e1= (1, 0, 0, 0), e2= (0, 1, 0, 0), e3= (0, 0, 1, 0), e4= (0, 0, 0, 1)).
Пусть X = R4, Y = {y ∈ X : (k, y) = 0}, g ∈ Y∗: g(y) = ⟨g, y⟩.
Надо построить функционал f ∈ X∗, продолжающий g с сохранением нормы.
Решение. Пусть X — линейное множество. Отображение f : X → R называется
линейным функционалом, если для всех α, β ∈ R и x, y ∈ X выполняется:
f(αx + βy) = αf (x) + βf (y).
Если X банахово пространство, то множество всех линейных непрерывных функ-
ционалов на X называется сопряженным пространством и обозначается X∗.
Теорема Рисса-Фреше.
Для любого непрерывного линейного функционала f на Гильбертовом простран-
стве H существует единственный вектор y ∈ H такой, что f (x) = ⟨x,y⟩ для любого
x ∈ H. При этом норма линейного функционала f совпадает с нормой вектора y:
∥f∥ = sup
|f(x)| =p⟨x,y⟩.
∥x∥=1
Теорема Хана-Банаха.
Если X — банахово пространство, Y — его замкнутое подпространство, на Y задан
линейный непрерывный функционал, то его можно продолжить на пространство X
с сохранением нормы. Т.е. Y ⊂ X, g ∈ Y∗, тогда существует f ∈ X∗, ∀y ∈ Y ,
f(y) = g(y), ∥f ∥
X
∗
= ∥g∥
∗
.
Y
1) Вычислим формальное продолжение g(x) = (g, x), где x ∈ X, и вычислим
норму g в X∗.
Рассмотрим линейный функционал g : X → R, который является продолжени-
ем функционала с подпространства Y на все пространства X = R4. Функционал
определяется как скалярное произведение с вектором g:
g(x) = ⟨g, x⟩, ∀x ∈ X
Поскольку X = R4со стандартным скалярным произведением является Гильбер-
товым пространством, то по теореме Рисса-Фреше, каждый линейный функционал
g ∈ X∗представим в виде скалярного произведения с единственным вектором g ∈ X,
Таким образом, линейный функционал g задается как:
g(x) = ⟨x, g⟩
При этом норма функционала g в сопряженном пространстве X∗равна норме
вектора g в X:
∗
∥g∥
X
= ∥g∥
1
X
В нашем случае вектор g = (2, 3, 2, 2), поэтому:
∥g∥X=p⟨g, g⟩ =√22+ 32+ 22+ 22=√4 + 9 + 4 + 4 =√21.
Следовательно:
∗
∥g∥
X
=√21
2.1) Вычислим норму g в Y∗.
По условию функционал g задан на подпространстве Y = {y ∈ X : (k, y) = 0}
как g(y) = (g, y). Y является Гильбертовым пространством, т.к. X - Гильбертово
пространство и Y ⊂ X.
В силу симметрии скалярного произведения в R4:
⟨g, y⟩ = ⟨y, g⟩
Тогда по теореме Рисса-Фреше для пространства Y :
∃!gY∈ Y : g(y) = ⟨y, gY⟩, ∀y ∈ Y
Норма функционала g на Y равна норме этого вектора:
∥g∥
= ∥gY∥Y= ∥gY∥
∗
Y
X
Вектор gYявляется ортогональной проекцией вектора g ∈ X на подпространство
Y .Так как X конечномерно и X = Y ⊕Y⊥, поскольку Y = {k}⊥, то Y⊥= ({k}⊥)⊥=
span{k}. Ортогональная проекция вектора g на Y⊥задается формулой:
⟨g,k⟩
⟨k,k⟩
k
proj
(g) = proj
⊥
Y
(g) =
k
Тогда:
⟨k,k⟩ = 52+ 72+ 92+ 102= 255
⟨g,k⟩ = 2 · 5 + 3 ·7 + 2 · 9 + 2 · 10 = 69
proj
(g) =
k
69
255
k =
23
85
k
Откуда Вектор gY:
gY= projY(g) = g −proj
(g) = g −
⊥
Y
23
85
k =
11
17
94
85
37
, −
85
,
12
, −
17
Откуда норма:
∥g∥
∗
= ∥gY∥ =p⟨ gY, gY⟩ =
Y
s
11
17
94
2
+−
2
+
85
37
85
2
+−
12
17
r
2
198
=
85
Сравнение норм:
Норма формального продолжения ∥g∥
Норма исходного функционала ∥g∥
∗
=√21.
X
q
=
198
85
.
∗
Y
Заметим, что нормы не совпадают, следовательно, формальное продолжение g(x) =
(g, x) не является продолжением с сохранением нормы, которое гарантируется тео-
ремой Хана-Банаха.
2.2) Построим ортонормированный базиса a,b,c в Y .
Ортонормированный базис {a,b,c} для Y должен удовлетворять условиям:
g(a) = (a, gY) = 0
2
g(b) = (b, gY) = 0
g(c) = (c, gY) = 0
Это означает, что a иb должны быть ортогональны вектору gY∈ Y , а c - не
ортогонален gY. Выберем вектор c, как нормированный вектор в направлении gY:
c =
g
Y
∥gY∥
=
11
94
85
, −
q
37
85
198
85
17
,
, −
12
17
√
1870
=
(55, 94, −37, −60)
5610
Вектор c лежит в Y , имеет норму 1 и выполнено условие:
r
198
g(c) = (c,gY) = ∥gY∥ =
= 0
85
Чтобы найти a,b нужно найти два линейно независимых вектора, удовлетворяющих условиям ортогональностиk и gY:
(y,k) = 0 =⇒ 5y1+ 7 y2+ 9 y3+ 10y4= 0
(y, gY) = 0 =⇒ 55y1+ 94y2− 37y3− 60y4= 0
Решая соответствующую СЛАУ, находим:
v1= (3, −2, 1, −1)
v2= (−13, 8, 1, 0)
Процесс ортогонализации Грама-Шмидта для вектора v1и его нормировка:
v1= (3, −2, 1, −1), ∥v1∥2= 32+ ( −2)2+ 12+ ( −1)2= 15
√
a =
v
∥v1∥
(3, −2, 1, −1)
1
=
√
15
=
15
(3, −2, 1, −1)
15
Проделаем аналогичные действия для v2и получим:
√
b =
26
(−13, 8, 1, 0)
78
Таким образом ОНБ для Y :
√
15
a =
b =
√
(3, −2, 1, −1)
15
√
26
(−13, 8, 1, 0)
78
1870
c =
(55, 94, −37, −60)
5610
3.1) Дополнение базиса до ортонормированного базиса a,b,c,d в X.
Дополним ОНБ {a,b,c} для подпространства Y ОНБ пространства X = R4.
X = Y ⊕ Y⊥, Y = {k}⊥и Y⊥= ({k}⊥)⊥= span{k}
Это одномерное подпространство, порожденное векторомk = (5, 7, 9, 10), поэтому
в качествеd возьмем нормированный векторk:
∥k∥ =q(k,k) =√52+ 72+ 92+ 102=√255
d =
k
∥k∥
=
√
255
(5, 7, 9, 10)
255
3
3.2) Определение продолжения функционала f ∈ X∗в предположении f (d) = 0.
Пусть f (d) = α, тогда:
f = ∥g∥
∗
c + αd = gY+ αd
Y
Поскольку gY∈ Y иd ∈ Y⊥, они ортогональны.
По теореме Пифагора, норма вектораf:
∥f∥
2
= ∥gY∥
X
2
+ ∥αd∥
X
2
X
= ∥g∥
2
+ |α|2∥d∥
∗
Y
2
X
Так как ∥d∥X= 1:
∥f∥
Условие сохранения нормы ∥f∥
2
X
X
= ∥g∥
∗
= ∥g∥
2
∗
Y
Y
2
+ |α|
∗
выполняется тогда и только тогда,
когда |α|2= 0, то есть α = 0. Таким образом, f (d) = 0 является необходимым
условием сохранения нормы.
Определим функционал f ∈ X∗как продолжение g ∈ Y∗, задав его значения на
базисных векторах {a,b,c,d}.
Функционал f должен совпадать с g на Y , то есть f (a) = g(a), f (b) = g(b), f (c) =
g(c). Согласно п.2.2:
g(a) = (a, gY) = 0
g(b) = (b, gY) = 0
r
g(c) = (c,gY) = ∥gY∥ = ∥g∥
∗
Y
198
=
85
Из условия сохранения нормы f(d) = 0, тогда:
f(a) = 0
f(b) = 0
r
198
f(c) =
85
f(d) = 0
Согласно теореме Рисса-Фреше:
∃!f ∈ X : f(x) = (x,f), ∀x ∈ X
∗
∥f∥
X
= ∥f∥
X
Координаты вектораf в ОНБ {a,b,c,d} равны значениям функционала f на этих
базисных вектоpax:
f = f (a) ·a + f (b) ·b + f (c) ·c + f (d) ·d
r
198
85
Y
198
85
∗
·c + 0 ·d
·c
c
∥g∥
f = 0 ·a + 0 ·b +
r
f =
q
=
198
, поэтому:
85
f = ∥g∥
∗
Y
Согласно п.2.1 и п.2.2:
c =
g
Y
∥gY∥
g
Y
=
4
∥g∥
∗
Y
Откуда:
f = ∥g∥
∗
Y
∥g∥
g
Y
= g
∗
Y
Y
Таким образом, векторf, представляющий функционал f в X, совпадает с вектором gY, который представлял функционал g в Y :
f = gY=
11
17
94
85
37
, −
85
,
12
, −
17
Следовательно:
∥f∥
X
∗
= ∥g∥
∗
Y
Единственность построенного продолжения функционала с сохранением нормы
гарантируется теоремой Хана-Банаха для гильбертовых пространств.
4.1) Вычисление f(ej).
Согласно п.3.2:
f = gY=
11
17
94
37
,
, −
85
85
12
, −
17
Координаты этого вектора даны в стандартном базисе {e1, e2, e3, e4}. Значение
функционала f на стандартных базисных векторах ejнаходится как скалярное про-
изведение ⟨ej,f⟩, откуда:
11
f(e1) = ⟨e1,f⟩ =
17
94
f(e2) = ⟨e2,f⟩ =
85
37
f(e3) = ⟨e3,f⟩ = −
85
12
f(e4) = ⟨e4,f⟩ = −
17
Заметим, что это и есть компоненты вектораf в стандартном базисе.
4.2) Пересчет нормы f в базисе ej, j = 1, 2, 3, 4.
Вычислим норму вектораf, используя его координаты (f(e1), f(e2), f(e3), f(e4)) в
стандартном ортонормированном базисе {ej}:
r
198
∥f∥X=q(f(e1))2+ ( f (e2))2+ (f (e3))2+ (f (e4))2=
85
Следовательно, по теореме Рисса-Фреше:
r
∥f∥
∗
= ∥f∥X=
X
198
85
q
Результат совпадает с нормой ∥g∥
∗
Y
=
198
. Это подтверждает то, что построен-
85
ный функционал f(x) = (x, gY) является продолжением g с сохранением нормы. □
5
Соседние файлы в папке ИДЗ 2025