Добавил:
baraevaliza
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:ИДЗ 2025 / Бараева Елизавета 2383 ИДЗ 2
.pdf
Студентка: Бараева Елизавета
Группа: 2383
Вариант: 3
Дата: 30 марта 2025 г.
Элементы функционального анализа
Индивидуальное домашнее задание №2
Задание 1. Дана матрица A(4 × 4) − A : R4→ R4.
37 28 −42 76
114
−
5
−12 −12 −9 60
22
5
695162
−
22
5
5
1685529
−
Требуется вычислить:
(1) Норму оператора A в пространствах l
1
4
торых достигается норма.
(2) Норму оператора A−1в пространствах l
(3) Число обусловленности оператора A в пространствах l
(4) Сформировать матрицу G = A∗A, показать, что она положительно опре-
делена. Найти ее собственные числа и векторы.
(5) Число обусловленности оператора A в пространствах l
348
−
5
5
∞
, l
и предъявить векторы, на ко-
4
1
∞
, l
.
4
4
1
∞
, l
.
4
4
2
.
4
Решение. Нормой оператора A : X → Y называется число
∥A∥ = sup{∥Ax∥ : ∥x∥ ≤ 1}
1
Пусть p = 1, A: l
→ l
n
∥x∥ =
1
n
X
|xm|, Ax =
m
X
k
a
m,kxk
!
m=1,...,n
P
Тогда ∥A∥ = sup
Пусть p = ∞, A : l
k
|a
| — максимум столбцовых сумм.
m,k
m
∞
n
→ l
∞
n
!
X
∥x∥ = supm|xm|, Ax =
a
m,kxk
k
m=1,...,n
P
Тогда ∥A∥ = sup
m
|a
| — максимум строковых сумм.
m,k
k
Числом обусловленности линейного оператора A называется
cond(A) = ∥A∥ · ∥A−1∥.
1) Вычислить норму оператора A в пространствах l
1
, l
4
на которых достигается норма.
X
m
1
:
4
|a
| = sup{37 +
m,k
−
114
5
+ |−12| +
1
22
, 28 +
5
В пространстве l
∥A∥ = sup
k
∞
и предъявить векторы,
4
69
−
+ |−12| +
5
22
,
5
|−42| +
162
5
+ |−9| +
−
186
5
, 76 +
−
348
5
+ 60 +
529
} = 311.4
5
Норма достигается на векторе x = (0, 0, 0, 1)T.
В пространстве l
X
∥A∥ = sup
m
k
|−12| + |−12| + |−9| + 60,
∞
:
4
|a
| = sup{37 + 28 + |−42| + 76,
m,k
22
5
+
22
5
+
Норма достигается на векторе x = (1, 0, 0, 0)T.
2) Вычислить норму оператора A−1в пространствах l
Сначала найдем A−1:
37 28 −42 76
A−1=
114
−
−12 −12 −9 60
22
5
5
695162
−
22
5
5
1685529
−
−
Далее найдем норму в пространстве l
∥A−1∥ = sup
k
22
+
405
X
26
405
2
27
−
,
−
|a
| = sup{
m,k
m
91
+
+
405
37
1215
124
1215
+
+
348
5
5
1
:
4
1215
274
28
1215
−1
+
=
284
1215
+
−
1215
1215
+
172
−
1215
−
−
1215
274
284
2
27
114
5
168
37
2
27
+
−
529
+
5
1
∞
, l
4
4
172
−
121522405
409
121526405281215
284
121591405
2
27
172
,
−
1215
+
−
27
69
5
} = 183
5
.
1
} =
27
162
+
−
−
2
409
+
1215
5
−
124
1215
172
1215
1
27
+
+
−
284
1215
348
5
+
27
,
2
,
191
≈ 0.786
243
k
284
1215
|a
m,k
∞
:
4
| = sup{
91
+
405
+
−
−
37
1215
172
1215
+
−
2
,
27
172
1215
+
27
1
:
4
+
2
+
22
405
2
27
+
+
−
−
124
1215
1
27
} =
274
,
1215
+
409
1215
26
+
405
1013
≈ 0.8337
1215
1
∞
, l
.
4
4
В пространстве l
X
∥A−1∥ = sup
m
284
+
1215
3) Вычислить число обусловленности оператора A в пространствах l
Число обусловленности в пространстве l
cond(A) = ∥A∥ · ∥A−1∥ = 311.4 · 0.786 ≈ 244.7604
Число обусловленности в пространстве l
∞
4
:
cond(A) = ∥A∥ · ∥A−1∥ = 183 · 0.8337 ≈ 152.5671
4) Сформировать матрицу G = A∗A, показать, что она положительно определена.
Найти ее собственные числа и векторы.
Сначала найдем A∗. Т.к. числа в A вещественные, то A∗= AT. Значит
2
+
28
,
1215
G = A∗· A = AT· A =
=
37
28
−42
76
−
10261
5
1514
11742
5
20722
5
−114
5
−69
5
162
5
−348
5
−12
−12
−9
60
1514 −
5689
5
8394521393
−
2834 −
22
5
22
5
−186
5
529
5
11742520722
8394
−
5
496145127069
·
5
−
37 28 −42 76
−
114
5
695162
−
5
−12 −12 −9 60
22
5
22
1685529
−
5
5
2834
49614
5
5
−
348
5
5
Собственные числа и вектора матрицы G:
λ1= 2.9352, v1= (−0.6956, 3.0983, 3.1552, 1)
λ2= 16.7673, v2= (4.0934, − 2.906, 3.4392, 1)
λ3= 2319.5582, v3= (−2.2332, − 1.7387, 0.8981, 1)
λ4= 30543.1392, v4= (0.1855, 0.1289, −0.4026, 1)
T
T
T
T
Т.к. собственные числа матрицы G строго положительны, то G положительно
определена.
=
5) Вычислить число обусловленности оператора A в пространстве l
Сначала вычислим норму A:
∥A∥ =pλ
(A∗· A) =pλ
max
(G) =√30543.1392 ≈ 174.766
max
Далее найдем норму A−1:
∥A−1∥ =pλ
(A−1)T· A−1=
−
−
−
=
37
1215
172
1215
22
405
124
1215281215
((A−1)∗· A−1) =pλ
max
55067
492075
69062
492075
11618
164025
−
492075
λ
274
1215
409
1215
26
405
13546
max
284
1215
284
1215
91
405
172
−
1215
69062
492075
95207
492075
11798
164025
6706
−
492075
((A−1)T· A−1) = 0.3407
−
2
27
2
27
2
27
1
27
−
·
11618
164025
11798
164025
383
6075
6334
164025
((A−1)T· A−1)
max
37
−
1215
1215
1215
274
284
2
27
−
−
−
−
121526405281215
121591405
13546
492075
6706
492075
6334
164025
15923
492075
172
121522405
409
284
2
27
2
27
∥A−1∥ =√0.3407 ≈ 0.5837
Затем вычислим число обусловленности оператора A в пространстве l
cond(A) = ∥A∥ · ∥A−1∥ = 174.766 · 0.5837 ≈ 102.0109
−
−
2
4
−
2
4
.
124
1215
172
1215
1
27
:
=
□
3
Соседние файлы в папке ИДЗ 2025